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梁的位移

2.1

提要：

在前面的章節中，已經討論過受拉(壓)杆件和受扭杆件的變形與位移的

計算，本章將討論受彎杆件的變形與位移的計算。

由於荷載的作用，梁在各點處產生應力，同時也發生變形。這種變形

的積累就形成了梁的撓曲線，在梁截面處產生撓度和轉角。本章從建

立撓曲線近似微分方程入手，研究了梁的位移的計算方法。

為了保證梁的正常工作，梁除滿足強度要求外，還須滿足剛度要求。

本章在研究了梁位移的基礎上，將建立梁的剛度條件。

除了剛度計算以外，研究梁彎曲時位移的另一個重要目的，就是解超

靜定梁。本章將對簡單的超靜定梁的解法進行討論。與拉壓超靜定問

題類似，解超靜定梁問題，除了用平衡條件之外，還需要考慮變形協

調條件。研究梁的位移變形是求解超靜定梁的必要前提。

2.2

工程中梁的撓度很小，所以梁變形後的軸線是一條光滑連續的曲線，對

於軸線上的每一點，都可以略去其沿軸線方向的線位移分量，而認為它

僅有撓度。此外，本章研究梁的變形均是在彈性範圍內，材料服從胡克

定律。概括地說，小變形和線彈性，這是本章研究梁的位移的兩個約定

條件。

除了剛度計算以外，研究梁彎曲時位移的另一個重要目的，就是解超靜

定梁。本章將對簡單的超靜定梁的解法進行討論。與拉壓超靜定問題類

似，解超靜定梁問題，除了用平衡條件之外，還需要考慮變形協調條件。

研究梁的位移變形是求解超靜定梁的必要前提。

工程中梁的撓度很小，所以梁變形後的軸線是一條光滑連續的曲線，對

於軸線上的每一點，都可以略去其沿軸線方向的線位移分量，而認為它

僅有撓度。此外，本章研究梁的變形均是在彈性範圍內，材料服從胡克

定律。概括地說，小變形和線彈性，這是本章研究梁的位移的兩個約定

條件。

2.3

6.1梁的撓曲線微分方程

梁在變形後，它的軸線將發生彎曲，形成一條撓曲線(deflection

curve)。撓曲線的形狀與梁內的彎矩有直接的關係。在本節裏，我們將

首先建立梁撓度與彎矩之間的關係，它將表現為撓度與截面彎矩的某種

近似微分關係，從而為建立梁的撓曲線方程打下基礎。

如圖6.1所示，取梁在變形前的軸線為x軸，與軸線垂直的軸為y軸，且

xy平面為梁的主形心慣性平面之一。梁變形後，其軸線將在xy面內彎成

一曲線即撓曲線，如圖6.1所示。度量梁的位移所用的兩個基本量是：

軸線上的點(即橫截面形心)在y方向上的線位移v，稱為該點的撓度

(deflection)；橫截面繞其中性軸轉動的角度,稱為該截面的轉角

(slope)。

由圖6.1可見，某一截面轉角同時也是撓曲線在該點的切線與x軸間的夾

角。

2.4

P

6.1梁的撓曲線微分方程

考慮到工程上的習慣，梁撓度以F

C

向下為正，所以在所取的坐標系(a)

中將y軸的正向取為向下方向，AB

θ

C

而轉角以順時針為正。x

(b)

θvcB

A

yC′B′

可將梁變形後的撓曲線用如下函