高等数学：微分中值定理及导数的应用 PPT教学课件.pptx

第4章微分中值定理及导数的应用

目录4.1微分中值定理4.2洛必达法则4.3泰勒公式4.4函数的单调性与极值4.5函数图形的描绘4.6曲率

微分中值定理4.1费马引理设函数f（x）在a，b内有定义，且在a，b内的点ξ处取得最大（小）值；另外y=f（x）在ξ处可导，则必有f′（ξ）=0.

微分中值定理4.14.1.1罗尔（Rolle）定理罗尔定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间(a，b)内可导；（3）f(a)=f(b).那么在(a，b)内至少存在一点ξaξb，使f′(ξ)=0.

微分中值定理4.1

微分中值定理4.14.1.2拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间(a，b)内可导.那么在(a，b)内至少存在一点ξ（aξb），使得f′（ξ）=[f(b)-f(a)]/（b-a）或F（b）b-f（a）=f′（ξ）（b-a）；aξb

微分中值定理4.1拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足（1）、（2）的曲线弧AB上，至少有一点处的切线平行于弦AB

微分中值定理4.1推论1如果函数f(x)在区间(a，b)内满足f′(x)≡0，那么在(a，b)内f(x)=C（C为常数）.推论2如果函数f(x)，g(x)在(a，b)内有f′(x)≡g′(x)，那么在(a，b)内，f(x)=g(x)+C（C为常数）.

微分中值定理4.14.1.3柯西（Cauchy）中值定理柯西中值定理如果函数f(x)和g(x)满足：（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间(a，b)内可导；(3)对任一x∈a，b，g′(x)≠0.则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得

洛必达法则4.24.2.10/0型和∞/∞型未定式1.0/0型不定式极限定理1如果函数f(x)，g(x)满足下列条件:（１）limx→x0f(x)=0，limx→x0g(x)=0；（２）函数f(x)，g(x)在点x0的某去心邻域(x0，δ)内可导，并且g′(x)≠0；（３）极限limx→x0f′(x)/g′(x)存在（或为无穷大）.则limx→x0f(x)/g(x)=limx→x0f′(x)/g′(x).

洛必达法则4.2注意：（1）当x→x0时，0/0型未定式的极限在符合定理条件时，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定.（2）如果limx→x0f′(x)/g′(x)仍属于00型未定式，且f′(x)，g′(x)仍满足定理中的条件，那么可以反复使用该法则进行计算.如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法则，否则会产生错误的结果.此外，在用洛必达法则时，最好能结合求极限的其他方法，如恒等变形、重要极限等，那样效果会更好.

洛必达法则4.22.∞/∞型不定式极限定理2如果函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）limx→x0f（x）=∞，limx→x0g（x）=∞；（2）函数f（x），g（x）在点x0的某去心邻域U°（x0，δ）内可导，并且g′（x）≠0；（3）limx→x0f′（x）g′（x）=A（A可为实数，也可为∞），则

洛必达法则4.2

洛必达法则4.24.2.2其他类型未定式的极限求法对于未定式极限，除了上述两大基本类型之外，还有：等类型，这些类型的极限都可以经过适当的恒等变换，转换成0/0型或∞/∞型，然后用洛必达法则进行计算.

洛必达法则4.2

洛必达法则4.24.2.2其他类型未定式的极限求法对于未定式极限，除了上述两大基本类型之外，还有：等类型，这些类型的极限都可以经过适当的恒等变换，转换成0/0型或∞/∞型，然后用洛必达法则进行计算.

泰勒公式4.31.带有佩亚诺（Peano）余项的泰勒（Taylor）公式泰勒中值定理1如果函数f（x）在x0处具有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有

泰勒公式4.32.带有拉格朗日余项的泰勒公式泰勒中值定理2如果函数f（x）在x0的某个邻域U（x0）内具有n+1阶导数，那么对任一x∈U（x0），有

函数的单调性与极值4.44.4.1函数单调性的判定对于一个单调递增函数来说，如果曲线上每一点都存在切线的话，这些切线有何特征呢？通过图可以看到：切线与x轴的夹角成锐角.

函数的单调性与极值4.4定理1设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导.（1）如果对(a，b)内任一点x，都有f′(x)0，那么函数f(x)在［a，b］上单调递增；（2）如果对(a，b)内任一点x，都有f′(x)0，那么函数f(x)在［a，b］上单调递减.

函数的单调性与极值4.44.4.2函数极值的判别法定义设函数f(x)在x0的某个邻域U(