欧氏空间和酉空间.ppt

例5令Rn是例1中的欧氏空间,Rn的向量ξ=x1,x2,…,xn）的长度是由长度的定义,对于欧氏空间中的任意向量ξ和任意实数a,有这就是说,一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度等于a的绝对值与ξ的长度的乘积第5页,共23页，星期六，2024年，5月在一个欧氏空间里,对于任意向量ξ,η,有不等式定理8.1.1当且仅当ξ与η线性相关时,上式才取等号例6考虑例1的欧氏空间Rn,由不等式(6)推出,对于任意实数a1,a2,……,an,b1,b2,……,bn,有不等式不等式（7）叫做柯西（Cauchy)不等式第6页,共23页，星期六，2024年，5月设ξ和η是欧氏空间的两个非零向量。ξ与η的夹角?由以下公式定义：定义3定义4欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的，如果

〈ξ，η〉=0

例如，在欧氏空间Rn里，向量

(i)

?i=(0,……，0，1，0，……0），i=1，2，……，n,两两正交第7页,共23页，星期六，2024年，5月在一个欧氏空间里，如果向量ξ与向量η1，η2，……ηr中每一个正交，那么ξ与η1，η2，……,ηr的任意一个线形组合也正交。定理8.1.2第8页,共23页，星期六，2024年，5月定义1欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组如果一个正交组的没一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个规范正交组例1向量α1=(0,1,0),构成R3的一个规范正交，因为正交基第9页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.2.1设{α1，α2，……，αn}是欧氏空间的一个正交组，那么α1，α2，……，αn线性无关。例3欧氏空间Rn的基

是Rn的一个规范正交基。

第10页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.2.2设{α1，α2，……，αm}是欧氏空间V的一组线性无关的向量，那么可以求出V的一个正交组{β1,β2,……，βm}，使得βk可以由α1，α2，……，αk线性表示，k=1,2,……，m.在欧氏空间R3中，对于基施行正交化方法，得出R3的一个规范正交基。定理8.2.3任意n(n0)维欧氏空间一定有正交基,因而有规范正交基例4第11页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.2.4令W是欧氏空间V的一个有限维子空间.那么因而V的每一个向量ξ可以唯一地写成ξ＝η＋ζ定理8.2.5设Ｗ是欧氏空间Ｖ的一个有限维子空间，ξ是Ｖ任意向量，η是ξ在Ｗ上的正射影．那么对于Ｗ中任意向量η’≠η,都有第12页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.2.6n维欧氏空间一个规范正交基到另一规范正交基的过渡矩阵是一个正交矩阵一个n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵,如果UU’=U’U=I.由以上的讨论我们得到定义2第13页,共23页，星期六，2024年，5月定义3欧氏空间V与V’说是同构的，如果（i）作为实数域上向量空间，存在V到V’的一个同构映射f:V→V’;(ii)对于任意ξ，η∈V，都有定理8.2.7两个有限维欧氏空间同构的充分且必要条件是它们的维数相等。第14页,共23页，星期六，2024年，5月定义1欧氏空间V的一个线性变换σ叫做一个正交变换，如果对于任意ξ∈V都有定理8.3.1正交变换欧氏空间V的一个线性变换σ是正交变换的充分必要条件是：对于V中任意向量ξ，η，第15页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.3.2设V是一个n维欧氏空间，σ是V的一个线性变换，如果σ是正交变换，那么σ把V的任意一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基。反过来，如果σ把V的某一个规范正交基仍旧变成V的一个规范正交基，那么σ是V的一个正交变换。定理8.3.3n维欧氏空间V的一个正交变换σ关于V的任意规范正交基的矩阵是一个正交矩阵。反过来，如果V的一个线性变换关于某一规范正交基的矩阵是正交矩阵，那么σ是一个正交变换。第16页,共23页，星期六，2024年，5月对称变换和对称矩阵定义1设σ是欧氏空间V的一个线性变换。如果对于V中任意向量ξ，η，等式成立，那么就成σ是一个对称变换。定理8.4.1设σ是n维欧氏空间V的一个对称变换。α1，α2，……αn是V的任意一个规范正交基。A=（aij)是σ关于这个基的矩阵。那么A‘=A，这里A’表示A的转置。第17页,共23页，星期六，2024年，5月定理8.4.2设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换。如果σ关于一个规