向量组的线性相关性.ppt

4.2向量组的线性相关性上页下页铃结束返回补充例题首页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A?a1?a2?????am?如果存在不全为零的数k1?k2?????km?使k1a1?k2a2?????kmam?0?则称向量组A是线性相关的?否则称它线性无关?向量组的线性相关与线性无关给定向量组A?a1?a2?????am?如果存在不全为零的数k1?k2?????km?使k1a1?k2a2?????kmam?0?则称向量组A是线性相关的?否则称它线性无关?显然有(1)含零向量的向量组必线性相关?(2)一个向量a线性相关?a?0?(3)两个非零向量a1?a2线性相关?a1?ka2(即对应分量成比例)?向量组a1?a2线性相关的几何意义是这两个向量共线?下页向量组的线性相关与线性无关给定向量组A?a1?a2?????am?如果存在不全为零的数k1?k2?????km?使k1a1?k2a2?????kmam?0?则称向量组A是线性相关的?否则称它线性无关?向量组A?a1?a2?????am(m?2)线性相关?也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m?1个向量线性表示?这是因为?如果向量组A线性相关?则有k1a1?k2a2?????kmam?0?其中k1?k2?????km不全为0?不妨设k1?0?于是a1??(1/k1)(k2a2?????kmam)?即a1能由a2?????am线性表示?下页下页给定向量组A?a1?a2?????am?如果存在不全为零的数k1?k2?????km?使k1a1?k2a2?????kmam?0?向量组的线性相关与线性无关01向量组A?a1?a2?????am(m?2)线性相关?也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m?1个向量线性表示?这是因为?如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m?1个向量线性表示?即有?1??2??????m?1?使am??1a1??2a2??????m?1am?1?于是?1a1??2a2??????m?1am?1?(?1)am?0?因为?1??2??????m?1??1不全为0?所以向量组A线性相关?则称向量组A是线性相关的?否则称它线性无关?02向量组的线性相关与线性无关给定向量组A?a1?a2?????am?如果存在不全为零的数k1?k2?????km?使k1a1?k2a2?????kmam?0?则称向量组A是线性相关的?否则称它线性无关?定理1向量组a1?a2?????am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A?(a1?a2?????am)的秩小于向量个数m?向量组线性无关的充分必要条件是R(A)?m?这是因为?向量组A?a1?a2?????am线性相关?x1a1?x2a2?????xmam?0即Ax?0有非零解?R(A)?m?下页n维单位坐标向量组构成的矩阵为E?(e1?e2?????en)?是n阶单位矩阵?由|E|?1?0?知R(E)?n?即R(E)等于向量组中向量个数?所以此向量组是线性无关的?例1试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性?解向量组a1?a2?????am线性无关?R(a1?a2?????am)?m?下页提示?例2已知a1?(1?1?1)T?a2?(0?2?5)T?a3?(2?4?7)T?试讨论向量组a1?a2?a3及向量组a1?a2的线性相关性?对矩阵(a1?a2?a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵?即可同时看出矩阵(a1?a2?a3)及(a1?a2)的秩?解n维单位坐标向量组e1?e2?????en是线性无关的?对矩阵(a1?a2?a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵