甘肃省多校2024-2025学年高三上学期1月期末联考数学（原卷版）.docx

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高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数对应点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.在中，角，，所对边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（）

A. B. C.6 D.12

4.直线被圆截得的弦长为（）

A. B. C. D.

5.已知，则（）

A. B. C. D.

6.某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（）

A. B. C. D.

7.已知函数满足且，，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

8.已知正三棱锥体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A.

B.估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为

C.估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间

D.估计该哈密瓜质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

10.若，则（）

A. B.

C. D.

11.若函数图象的一条对称轴方程为，则（）

A. B.

C.图象的一条对称轴为直线 D.在上单调递增

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为________.

13.已知向量，，若，则________.

14.已知函数，则函数的最小值为________；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是________.（注：当时，）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知等差数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

16.现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢.为了调查人们是否喜欢这种交通方式，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市随机调查了100名市民，得到了一个市民是否喜欢骑“共享单车”的样本，具体数据如下列联表：

A

B

总计

喜欢

40

10

50

不喜欢

20

30

50

总计

60

40

100

（1）根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联？

（2）为进一步了解A城市的拥堵情况，该同学从样本中A城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽取6人，并从这6人中选出2人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.

附表格及参考公式：，其中.

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

17.已知函数.

（1）若在处取得极值，求实数的值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD平面ABCD，，，，.

（1）证明：.

（2）已知Q为侧棱PB上一点，平面QAC.

①求值；

②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

19.已知双曲线的左，右顶点分别为，，左焦点为，O为坐标原点，是线段OM的中点.

（1）求双曲线的离心率.

（2）过点M且斜率不为0的直线l与双曲线的左，右两支的交点分别为Q，P.

①若直线l的斜率为1，，求双曲线的方程；

②连接QO并延长，交双曲线于点R，证明：.