5.2 导数的运算（单元教学设计）高二数学（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

5．2导数的运算（单元教学设计）

一、【单元目标】

（1）能根据导数定义推导函数的导数公式．

（2）会使用导数公式表．

（3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则，会求简单函数的导数；能求简单的

复合函数（限于形如）的导数．

二、【单元知识结构框架】

三、【学情分析】

本节课是针对高中数学导数部分的教学内容，学生在此之前已经学习了导数的基本概念以及基本初等函数的导数公式．然而，导数的运算对于部分学生来说仍然是一个难点，尤其是涉及到复合函数、乘积函数和商函数的求导法则时，学生容易出现混淆和错误．学生方面，大部分学生对数学有一定的兴趣，但基础参差不齐．部分学生具备较好的逻辑思维能力和数学运算能力，能够较快掌握导数的运算规则；而另一部分学生则在理解和应用上存在困难，需要更多的练习和指导．因此，在教学过程中，教师需要注重因材施教，通过例题讲解、课堂练习和课后作业等多种方式，帮助学生巩固导数的运算法则，提高他们的运算能力和解题技巧．同时，教师还应关注学生的个体差异，给予针对性的指导和帮助．

四、【教学设计思路/过程】

课时安排：约4课时

教学重点：求简单函数的导数

教学难点：求简单复合函数的导数

教学方法/过程：

五、【教学问题诊断分析】

环节一、情景引入，温故知新

情景1：同学们，之前我们已经掌握了如何求简单函数的导数，回顾一下，我们学习了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数这四类非常重要的基本初等函数．大家可能还记得，我们熟悉的一次函数、二次函数其实都可以看作是幂函数的特殊形式或组合．那么，对于这四类基本初等函数，它们是否也有对应的导函数呢？今天，我们就一起来深入探究这个问题，揭开它们导数的神秘面纱．

环节二、抽象概念，内涵辨析

1．基本初等函数的求导公式

问题1：回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？

【破解方法】幂函数、指数函数、对数函数、三角函数．

问题2：如何求常函数的导数？

【破解方法】因为

所以，即

我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：

．

通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即

【归纳新知】基本初等函数的导数公式

（1）（C为常数），

（2）（n为有理数），

（3），

（4），

（5），

（6），

（7），

（8），，这样的形式．

要点诠释：

1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．

2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．

特别地，．

3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．

4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．

5、指数函数的导数：，．

6、对数函数的导数：，．

有时也把记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．

2．函数的和、差、积、商的导数

问题3：设，计算与，它们与和有什么关系?

【破解方法】设

而

所以

设

而

所以．

问题4：设，计算与，它们是否相等?与是否相等?

【破解方法】因为

所以

【归纳新知】函数的和、差、积、商的导数

（1）和差的导数：

（2）积的导数：

（3）商的导数：（）

要点诠释：

（I）上述法则也可以简记为：

（ⅰ）和（或差）的导数：，

推广：．

（ⅱ）积的导数：，

特别地：（c为常数）．

（ⅲ）商的导数：，

两函数商的求导法则的特例

，

当时，．

这是一个函数倒数的求导法则．

（II）两函数积与商求导公式的说明

（1）类比：，，注意差异，加以区分．

（2）注意：且．

3．复合函数的概念

问题5：函数是如何构成的？

【破解方法】，其中的“占据”了对数函数中的位置，，而．这里有代入、代换的思想，则函数是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数，而函数不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思．

【归纳新知】复合函数的概念

对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．

要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．

4．复合函数的导数

问题6：如何求函数的导数？

【破解方法】，由两个函数相乘的求导法则可知：；从整体上来看，外层函数是基本初等函数，它的导数，内层函数是幂函数的线性组合，它的导数是，发现．

【归纳新知】复合函数的导数

设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．

环节三：例题练习，巩固理解

题型一：利用导数公式求函数的导数

【典例1-1】求下列函数的导数：

（1）；

（2）．

【解析】（1）．

（2）．

【典例1-2】假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0．01元/