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泛函分析

曾远荣，我国泛函分析第一代数学家

泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论

物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研

究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的

解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，

概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统

的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑

和代数条件的映射的分支学科。

目录

什么是泛函分析

赋范线性空间

1.概况

2.希尔伯特空间

3.巴拿赫空间

主要结果和定理

泛函分析与选择公理

泛函分析的研究现状

泛函分析的产生

泛函分析的特点和内容

图书信息

1.内容简介

2.图书目录

图书信息

什么是泛函分析

赋范线性空间

1.概况

2.希尔伯特空间

3.巴拿赫空间

主要结果和定理

泛函分析与选择公理

泛函分析的研究现状

泛函分析的产生

泛函分析的特点和内容

图书信息

1.内容简介

2.图书目录

图书信息

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编辑本段什么是泛函分析

泛函分析

泛函分析（FunctionalAnalysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其

研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）

的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表

述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（StefanBanach）是泛函分析

理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（VitoVolterra）对泛

函分析的广泛应用有重要贡献。

编辑本段赋范线性空间

概况

从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线

性空间。这类

泛函分析

空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其

上的范数由一个内积导出。这类空间是量子力学数学描述的基础。更一般的泛

函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。

泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线

性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。

希尔伯特空间

希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，

若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上

的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间

而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所

以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的

一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一

个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。

巴拿赫空间

一般的巴拿赫空间比较复杂，例如没有通用的办法构造其上的一组基。

对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的

p次方的积分

泛函分析

收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。（参看Lp空间）

在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间

上所有连续线性泛函所构成的空间。对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同

构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。

微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函

数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。

编辑本段主要结果和定理

泛函分析的主要定理包括：

1.一致有界定理（亦称共鸣定理），该定理描述一族有界算子的性质。

2.谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规