哈密顿原理的推导.ppt

3.Hamilton原理(1)变分的概念微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变量，q为因变量；当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称为该函数的微分，且：或:变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数式中：是一个微小系数，是t的任意连续函数。则：对于自变量的某一指定值，函数q=q(t)由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称为该函数的变分。从图中可看出，实际上代表了虚位移。(2)变分与微分的区别变分：自变量不变，仅由于函数本身形式的微小改变而得到的函数的改变；微分：由于自变量的微增量而引起的函数的微增量。(3)变分的运算性质：(a)任一连续函数q=q(t)的变分与微分可以交换：即(b)在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。即：如果在函数q=q(t)中的自变量t是时间，则该函数的变分称为等时变分。(2)Hamilton原理：作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近，且为约束所能允许的可能运动的区分准则。研究对象：具有k个自由度的理想、完整约束下的质点系的运动广义坐标：q1，q2，……qk质点系的位置：若在平面上运动的质点，其坐标可选x,y，若再考虑时间，则有3个坐标，一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，……qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到一个点，该点表示一质点在t时的位置④质点系的真实运动：如上图中(k+1)维空间中的实曲线表示；称为质点系的真实路径，又叫正路。质点系的可能运动：质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个可能运动，用表示。称为质点系的可能路径，或旁路(弯路)。运动始末位置上，正路和弯路的位置相同(显然，可能运动的曲线有无数条)。⑥虚位移(变分)：表示在同一瞬时，旁路对正路的偏离。PARTONE01单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。b)哈密顿原理的推导：02即约束可随t变化，是t的函数非定常约束的概念：03——以广义坐标表示的动力学普遍方程一、拉格朗日方程添加标题设有一理想、完整约束的非自由质点系，具添加标题ri(xi,yi,zi)表示质点系添加标题有k个自由度，用k个广义坐标q1，q2，…，qk表示添加标题中任一质点Mi的位置，添加标题质点系的位置，作一直角坐标系oxyz，用矢径添加标题显然，如果约束是非添加标题定常的，则矢径ri是添加标题广义坐标和时间的矢添加标题量函数：n为质点的数目，为了将质点系中质点Mi的虚位移δri表示为广义坐标的变分，求(1)式的变分：将其展开后得：式中第一项表示主动力系在质点系虚位移中的元功的和，可以写为广义坐标的形式为：式中，Qj为对应于广义坐标qj的广义力。已知动力学普遍方程为：(5)为简化(4)式括号中的式子，可将其改写为：(2)式中左边第二项表示惯性力系在质点系虚位移中元功的和，将(1)式代入(2)式中的左边第二项得：(4)为推导拉氏方程，先证明与之间的两个关系式:(1)(6)称为广义速度，为广义坐标对时间的变化率，因和仅是广义坐标和时间的函数，与广义速度无关，将(6)式对广义速度求偏导数，可得添加标题01关系式：添加标题02添加标题03将(6)式对任一广义坐标qα求偏导数得：01020304另一方面，直接由矢径对某一广义坐添加标题标求偏导数后，再对时间t求导数，得：添加标题由此，可得另外一个关系式：添加标题添加标题将(7)式和(8)式代入(5)式中得：添加标题01单击此处添加小标题03单击此处添加小标题02单击此处添加小标题04添加标题添加标题添加标题添加标题将此结果代回式(4)，并引入质点系动能得:式中得：单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好