2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷.doc

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2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）直线3x﹣4y+1＝0不经过（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（4分）抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）

A． B．1 C．2 D．3

3．（4分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）

A． B． C．2 D．4

4．（4分）在的展开式中，x的系数为（）

A．3 B．6 C．9 D．12

5．（4分）正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

6．（4分）已知直线a，b和平面α，其中a?α，b?α，则“a∥b”是“a∥α”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

7．（4分）设A，B为双曲线的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）

A．y＝x B．y＝2x C． D．

8．（4分）在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）

A．12种 B．24种 C．32种 D．36种

9．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）

A．5 B． C． D．

10．（4分）在直角坐标系xOy内，圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1，若直线l：x+y+m＝0绕原点O顺时针旋转90°后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）过点A（2，﹣3）且与直线x+y+3＝0平行的直线方程为．

12．（5分）在（2x+1）4的展开式中，所有项的系数和等于．（用数字作答）

13．（5分）两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于．

14．（5分）若方程表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围是；

若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m的取值范围是．

15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BB1的中点，F为棱CC1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：

①存在符合条件的点F，使得B1F∥平面A1ED；

②不存在符合条件的点F，使得BF⊥DE；

③异面直线A1D与EC1所成角的余弦值为；

④三棱锥F﹣A1DE的体积的取值范围是．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．

（1）共有多少种不同的选择方法？

（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？

17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．

（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；

（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．

18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．

（1）求⊙C的方程；

（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．

19．（15分）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．

20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交于点F，且PA＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．

条件①：PB＝BD；条件②：PA⊥BC．

（1）求证：AB∥EF；

（2）求点P到平面DCEF的距离；

（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为，求的值．

21．（15分）设椭圆左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭