一 复习：概率论与数理统计中的基础知识.docx

复习——概率论与数理统计中的常用分布

常用离散型随机变量的分布有：

两点分布

X

0

1

P

1-p

p

如果随机试验只有两个可能结果：A和A，则称随机试验为伯努利试验。如果只试验一次，得到的分布就是两点分布，又称0-1分布，伯努利分布，是二项分布的一种简化情况，两者共用相同的记号B1,p

期望和方差为

E

E

D

二项分布

如果将伯努利试验独立重复进行n次，称为n重伯努利试验，此时分布律刚好是二项展开式，称得到的分布为二项分布（Binomialdistribution），记为Bn,p

P

其中k=0,1,2,?,n。0p1。称作X服从参数为n，p的二项分布，记作X~Bn,p

由于二项分布只是把两点分布重复了n次，所以

E

D

泊松分布

二项分布因为涉及到组合数，在数特别大的时候并不容易计算，当n非常大，p很小，np不太大的时候，二项分布的极限就是泊松分布。在泊松分布中，二项分布的期望np整体作为一个新的参数λ，即λ=np。

lim

其中

n!

它的分子刚好有k项，当n→∞时，n-k+1和n没有区别，即

lim

此时极限化为

lim

当p→0，n→∞时，1-pn-k是一个1∞型未定式，考虑使用极限

lim

即当n很大，p很小时，可以把二项分布近似为

C

后者即为泊松分布（Poissondistribution），分布律为

PX

其中k=0,1,2,?,n。λ0为常数，称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~Pλ

计算泊松分布的期望和方差要用到级数求和。

E

这是一个含有阶乘的级数，而且不缺项，需要利用指数函数的幂级数求和

e

因此期望为

E

求方差需要先求E

E

所以方差为

D

几何分布

在伯努利试验中，事件首次发生的次数服从几何分布（Geometricdistribution），比如射击时首次命中的次数，首次抽检到不合格品的次数，分布律为

P

其中k=1,2,?,n。这次k不能取0。这个分布是一个等比数列，而等比数列又叫几何数列，等比数列中的每一项都是前一项和后一项的几何平均ab，所以称为几何分布。

几何分布的期望为

E

而k=1∞1-pk

-p

所以有

E

对于EX2，处理方法

E

所以

D

几何分布具有无记忆性。

P

这个等式可以理解为射击时，先开了m枪都没有命中，再开n枪也没有命中和直接开n枪不命中的概率是一样的，前面的m枪好像没发生过。

P

其中

k=m+1

同理

k=m+n+1

因此

P

超几何分布

超几何分布在抽样检测中非常常见，设有N件产品，其中有M件不合格品，若从中不放回地随机抽取nn≤N件产品，其中不合格品的件数X服从超几何分布，或袋子里有白球和黑球，从中不

P

其中k=0,1,2,?,min

如果N特别大，远远大于n时，每次抽取后，剩余产品中不合格率几乎没有发生改变，可以用二项分布来近似，或更进一步使用泊松分布近似计算。

常用连续型随机变量的分布有：

均匀分布

均匀分布（uniformdistribution）的概率密度函数为

f

分布函数为：

当xa时，Fx

当a≤x≤b时

F

当xb时，Fx

综上，X的分布函数为

F

称X服从区间a,b上的均匀分布，记作X~Ua,b

期望和方差为

E

E

D

指数分布

指数分布的概率密度函数为

f

其中λ0。分布函数为：

当x0时，Fx

当x≥0时

F

综上，X的分布函数为

F

称X服从参数为λ的指数分布（exponentialdistribution），记作X~Expλ

期望和方差为

E

E

D

指数分布常用于表示各种物品的寿命，指数分布也有无记忆性。如果X~Expλ，则对任意s0，

P

这个等式的意思是某个产品在正常使用s小时后，还能再继续使用t小时的概率和一个全新的产品从零开始使用t小时的概率是一样的，就好像产品从来没用过。比如说一台电视的使用寿命是3年，3年后如果电视还能正常使用，那么它接下来的使用寿命还是3年，6年后没坏还剩3年，就好像这台电视从来没有使用过，这就是为什么同一批电视有的人能用10年还不坏，有的人用10天就坏了。证明如下

P

正态分布

正态分布最早由法国数学家棣莫弗（AbrahamdeMoivre）在研究二项分布的时候写出了近似形式。因为二项分布涉及到组合数，不便于计算，于是棣莫弗开始研究二项分布的极限分布是什么，答案就是正态分布。拉普拉斯把棣莫弗的结论推广到一般的情况，得到的结论就是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布的极限分布是正态分布，这是正态分布的第一次发现。教材上的独立同分布的中心极限定理是更一般的情况，只要数量足够大，任意分布的极限分布都是正态分布。因此在法国，正态分布又叫拉普拉斯分布。

德国数学家高斯在使用最小二乘法研究天体观测的误差时，假定算术平均是正确的估计，思考当误差密度函数长什么样时结果