2024_2025年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案学案新人教A版选修2_3.docVIP

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3.2独立性检验的基本思想及其初步应用

[教材研读]

预习教材P91～96，思索以下问题

1．分类变量与列联表分别是如何定义的？

2．独立性检验的基本思想是怎样的？

[要点梳理]

1．与列联表相关的概念

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：

①列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

YX

y1

y2

总计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

a＋b＋c＋d

2.等高条形图

等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列表数据的频率特征．

3．独立性检验的基本思想

(1)定义：利用随机变量K2来推断“两个分类变量有关系\”的方法称为独立性检验．

(2)公式：K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.

(3)独立性检验的详细做法：

①依据实际问题的须要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.

②利用公式计算随机变量K2的观测值k.

③假如k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发觉足够证据支持结论“X与Y有关系”．

[自我诊断]

推断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．()

2．列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系，而独立性检验中K2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．()

3．独立性检验的方法就是反证法．()

[答案]1.×2.√3.×

题型一用等高条形图分析两个分类变量间的关系

为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和比照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别

阳性数

阴性数

总计

铅中毒病人

29

7

36

比照组

9

28

37

总计

38

35

73

试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和比照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

[思路导引]依据表中数据，画出等高条形图，由图形进行分析．

[解]等高条形图如图所示：

其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和比照组样本中尿棕色素为阳性的频率．

由图可以直观地看出铅中毒病人与比照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．

(1)推断两个分类变量是否有关系的两种常用方法

①利用数形结合思想，借助等高条形图来推断两个分类变量是否相关是推断变量相关的常见方法．

②一般地，在等高条形图中，eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．

(2)利用等高条形图推断两个分类变量是否相关的步骤

[跟踪训练]

在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来推断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？

[解]依据题目所给的数据作出如下的列联表：

色盲

不色盲

总计

男

38

442

480

女

6

514

520

总计

44

956

1000

依据列联表作出相应的等高条形图，如图所示．

从等高条形图来看，男性患色盲的频率要高一些，因此直观上可以认为色盲与性别有关．

依据列联表中所给的数据可以有

a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，

a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1000，

由公式K2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，

得K2的观测值

k＝eq\f(1000×?38×514－6×442?2,480×520×44×956)≈27.110.828.

因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为色盲与性别是有关的．

题型二用2×2列联表分析两个分类变量间的关系

思索：下面是2×2列联表.

y1

y2

总计

x1

33

21

54

x2

a

13

46

总计

b

34

100

则表中a，b处的值应为多少？

提示：a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66.

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的爱好有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有爱好的有138人，无爱好的有98人，文科对外语有爱好的有73人，无爱好的有52人．能否在犯错误的概率不超