极小值原理及应用.ppt

初始条件给定系统状态方程要求：确定满足约束条件的最优控制U*(t)，使系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值。1、积分型最优控制问题终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由，U(t)是m维控制变量，其所受约束条件是：?为容许控制域，是以U(t)为元素的m维实函数空间中的一个闭子集。容许控制3.2连续系统极小值原理问题3-1第5页,共32页，星期六，2024年，5月（1）设U*(t)是最优控制，X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t)，使得X(t)与?(t)满足规范方程其中（2）边界条件为（3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0?t?tf）取极值，即如果不考虑约束条件，那么该最优控制问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下：控制函数U(t)不受约束或只受开集性的约束的情况下的最小值原理第6页,共32页，星期六，2024年，5月(1)当控制函数U(t)不受约束或只受开集性约束条件下，等价控制方程不是问题3-1所给定的最优控制问题解的必要条件。结论：说明：(2)在控制函数U(t)受到闭集性约束的条件下，控制方程未必是最优控制问题的解的必要条件之一。a.b.Hamilton函数H[X(t)，?(t)，U(t)，t]在闭子集?内可能不存在极值点，以?H/?U来求极小值点难以奏效。第7页,共32页，星期六，2024年，5月定理3-1（积分型最优控制问题的极小值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：第8页,共32页，星期六，2024年，5月(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t)，使得X*(t)和?(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最小值,即H：哈密顿函数第9页,共32页，星期六，2024年，5月(2)一个函数的最小值点与该函数反号后的最大值是一致的。则结果是一致的，只是二式中的协态变量?(t)是互为反号的。则说明:(1)用古典变分法求解控制向量无界时的泛函极值问题是最小值原理的一个特例。令哈密顿函数为：若令哈密顿函数为：第10页,共32页，星期六，2024年，5月定理3-2（积分型最优控制问题的极大值原理）给定系统的状态方程初态X(t0)=X0，终端时刻tf固定，终端状态X(tf)自由以及控制变量U(t)所受约束条件是则为将系统从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf)，并使性能泛函达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：第11页,共32页，星期六，2024年，5月(1)设U*(t)是最优控制,X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t)，使得X*(t)和?(t)满足规范方程：(2)边界条件为(3)哈密顿函数在最优控制U*(t)和最优轨线X*(t)上达到最大值,即H：哈密顿函数第12页,共32页，星期六，2024年，5月定理3-2极大值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最大值极大值原理。定理3-1极小值原理的中心内容是,使性能泛函达到最小值的最优控制的必要条件是哈密顿函数H达到最小值极小值原理。第13页,共32页，星期六，2024年，5月用极小值（极大值）原理解最优控制问题的一般步骤（1）列出哈密顿函数（2）求出使H极小（或极大）时的最优控制和，的关系。可分为两种情况：a