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函数的凹凸性与拐点

1.函数y=f(x)单调性的判定K切=f(x)0y单调递增凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方.凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方.K切=f(x)0y单调递减x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo2.几何特征Ｉy=f(x)连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.

曲线的凹凸与拐点一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间.若曲线位于其切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区间.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3ab1.几何特征Ⅱ凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.??????x1x2x3x1x2x3

连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点称为拐点.曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的单调性来判定.即y=f(x)的凹凸性与f″的符号有关.(x)(x)设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″.(x)(1)如果在(a,b)内f″0,那末曲线在(a,b)内是凹的.(x)(2)如果在(a,b)内f″0,那么曲线在(a,b)内是凸的.(x)2.结论:二.定理:三.定义:

(A)例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定义域为(?∞,+∞)y=2ax+b当a0时，y0,曲线y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)内是凹的.当a0时，y0,曲线y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)内是凸的.注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口方向相结合。y=2a

例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点(B)1.y=x4?2x3+1解：（1）定义域为（?∞,+∞）（2）y=4x3?6x2y=12x2?12x=12x(x?1)（4）列表xy″y（?∞，0）+∪00（0，1）?∩10拐点（0，1）拐点（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲线的凹区间为（?∞，0）∪（1，+∞），凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.（3）令y=0,得x=0,x=112

(B)2.y=(2x-1)+1解：（1）定义域为（?∞，+∞）（2）y=8(2x-1)3（3）显然x∈(?∞,+∞),y≥0∴凹区间（?∞，+∞），无拐点4y=48(2x-1)21.下列结论是否正确（1）.由f(x0)=0所确定的点(x0,f(x0))一定是拐点.2.求下列曲线的凹凸区间与拐点(B)（2）y=ln(1+x2)（2）.若函数f(x)在(a,b)内二次可导,且f(x)0,f(x)0,则曲线y=f(x)在(a,b)单调递减且凹向上.练习(B)(A)（1）y=3x?4x3+14

小结:1.如何来研究函数的凹凸性.2.凹与凸的定义,拐点的定义.3.凹与凸的判定.