欧氏空间的定义与基本性质.ppt

例1．在中，对于向量当时，1）即为几何空间中内积在直角坐标系下的表达式.即这样对于内积就成为一个欧氏空间.易证满足定义中的性质～.1）定义（1）所以,为内积.第5页,共29页，星期六，2024年，5月2）定义从而对于内积也构成一个欧氏空间.由于对未必有注意：所以1），2）是两种不同的内积.从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.易证满足定义中的性质～.所以也为内积.第6页,共29页，星期六，2024年，5月例2．为闭区间上的所有实连续函数所成线性空间，对于函数，定义（2）则对于（2）作成一个欧氏空间.证：第7页,共29页，星期六，2024年，5月且若则从而故因此，为内积，为欧氏空间.第8页,共29页，星期六，2024年，5月推广：2.内积的简单性质V为欧氏空间，第9页,共29页，星期六，2024年，5月2)欧氏空间V中，使得有意义.二、欧氏空间中向量的长度1.引入长度概念的可能性1）在向量的长度（模）2.向量长度的定义称为向量的长度.特别地，当时，称为单位向量.第10页,共29页，星期六，2024年，5月3.向量长度的简单性质3）非零向量的单位化：（3）第11页,共29页，星期六，2024年，5月1）在中向量与的夹角2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先三、欧氏空间中向量的夹角1.引入夹角概念的可能性与困难应证明不等式：此即,（4）第12页,共29页，星期六，2024年，5月对欧氏空间V中任意两个向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式当且仅当线性相关时等号成立.证：当时，结论成立.当时，作向量第13页,共29页，星期六，2024年，5月由内积的正定性，对，皆有（6）取代入（6）式，得即两边开方，即得第14页,共29页，星期六，2024年，5月当线性相关时，不妨设于是，(5)式等号成立.反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知或者，或者也即线性相关.第15页,共29页，星期六，2024年，5月3.柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用柯西不等式（7）1）第16页,共29页，星期六，2024年，5月施瓦兹不等式由柯西－布涅柯夫斯基不等式有从而得证.证：在中，与的内积定义为2）第17页,共29页，星期六，2024年，5月（7）证：两边开方，即得（7）成立.对欧氏空间中的任意两个向量有3）三角不等式第18页,共29页，星期六，2024年，5月设V为欧氏空间，为V中任意两非零向量，的夹角定义为4.欧氏空间中两非零向量的夹角定义1：第19页,共29页，星期六，2024年，5月①零向量与任意向量正交.注：②即.设为欧氏空间中两个向量，若内积则称与正交或互相垂直，记作定义2：第20页,共29页，星期六，2024年，5月5.勾股定理设V为欧氏空间，证：第21页,共29页，星期六，2024年，5月若欧氏空间V中向量两两正交，推广：则证：若则即第22页,共29页，星期六，2024年，5月例3、已知在通常的内积定义下，求解：又通常称为与的距离，记作第23页,共29页，星期六，2024年，5月设V为欧氏空间，