数值分析第七章非线性方程组的数值解法.ppt

*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。x*x0?x0?x0?不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况第69页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis牛顿迭代法的算法实现第70页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis牛顿法的优点牛顿法是目前求解非线性方程(组)的主要方法至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。可求重根和复根。牛顿的缺点对重根收敛速度较慢（线性收敛）对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解在实际计算中，可以先用其它方法获得真解的一个粗糙近似，然后再用牛顿法求解。第71页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法牛顿迭代法虽然具有收敛速度快的优点，但每迭代一次都要计算导数,当比较复杂时,不仅每次计算带来很多不便，而且还可能十分麻烦，如果用不计算导数的迭代方法，往往只有线性收敛的速度。本节介绍的弦截法便是一种不必进行导数运算的求根方法。第72页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法弦截法在迭代过程中不仅用到前一步处的函数值，而且还使用处的函数值来构造迭代函数，这样做能提高迭代的收敛速度。称之为多点迭代法。第73页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法弦截法的基本思想为避免计算函数的导数，使用差商替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式称为弦截迭代公式，相应的迭代法称为弦截法。第74页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法弦截法的几何意义弦截法也称割线法,其几何意义是用过曲线上两点、的割线来代替曲线,用割线与x轴交点的横座标作为方程的近似根再过P1点和点作割线求出,再过P2点和点作割线求出,余此类推，当收敛时可求出满足精度要求的第75页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法可以证明，弦截法具有超线性收敛，收敛的阶约为1.618，它与前面介绍的一般迭代法一样都是线性化方法，但也有区别。即一般迭代法在计算时只用到前一步的值，故称之为单点迭代法；而弦截法在求时要用到前两步的结果和，使用这种方法必须给出两个初始近似根，这种方法称为多点迭代法。第76页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis弦截法算法实现第77页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5弦截法例7.5.1用弦截法求方程在初始值邻近的一个根。要求解：取,,令利用弦截迭代公式易见取近似根可满足精度要求。第78页,共84页，星期六，2024年，5月*/87郑州大学研究生2014-2015学年课程数值分析NumericalAnalysis§7.5解非线性方程组的迭代解法考虑非线性