能量原理课件.pptVIP

**能量方法利用功和能的概念來求解可變形固體的位移、變形和內力等的方法，通稱為能量方法。第一節虛位移原理及單位力方法一．虛位移原理對於一個處於平衡狀態下的杆件，其外力和內力對任意給定的虛位移所作的總虛功等於零，即分別指的是外力和內力對虛位移所做的虛功外力指的是荷載和支座反力，內力則為截面上各部分間的相互作用力以一簡支梁為例，來說明推導梁的虛位移原理的運算式下圖所示簡支梁上的外力荷載和支座反力。在給梁任意一個虛位移時，所有荷載作用點均有沿其作用方向的相應虛位移（圖上未繪出）。兩支座A、B則不可能有虛位移，否則就與支座約束條件不符。因此，梁上所有外力（包括荷載和支反力）對於虛位移所作的虛功為第一節虛位移原理及單位力方法再計算梁的內力對於虛位移所作的虛功，從梁中取出任一微段dx來研究。作用在該微段左、右兩截面上的內力分別為Q、Q+dQ和彎矩M、M+dM。總虛功為略去高階無窮小項和，即得第一節虛位移原理及單位力方法作用在微段左、右兩截面上的M和Q，對於該微段而言應看作是外力，所以，為該微段的外力虛功，而該微段的內力所作的虛功，則可按該微段的外力虛功，而該微段的外力虛功與內力虛功之和應等於零的虛位移原理求得，即可得則整個梁的內力虛功為將上兩式代入虛位移原理公式，即得第一節虛位移原理及單位力方法亦即若所研究的對象不是僅有彎曲變形的梁，而是發生組合變形的梁，其任意截面上的內力不僅有彎矩M和剪力Q，而且還有軸力N和扭矩T，作用在杆上的荷載為，則此杆件的虛位移原理運算式為第一節虛位移原理及單位力方法第一節虛位移原理及單位力方法虛位移原理應用條件外力與內力滿足靜力平衡條件設想的虛位移是滿足原結構幾何約束條件之任意微小位移，它與原載荷引起之真實變形無關上述分析過程中為涉及材料性質（物理性質），對其他非線彈性問題同樣適用第一節虛位移原理及單位力方法二．單位力方法對於杆系結構，既然如前所述只要滿足支座約束條件，及各微段間變形連續條件的任何微小位移，均可作杆件的虛位移，那麼可把實載作用下之真實位移及各微段兩端的真實相對位移當作虛位移。若要確定在實荷載作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或轉向的位移，就可以在該點處施加一個相應的單位力，將之視為荷載，而由單位力所引起的杆件任一截面上的內力記為。則杆件的虛位移原理運算式為對於線彈性，在所研究的杆件中，由實際荷載引起的長為dx的微段兩端橫截面的變形位移分別為第一節虛位移原理及單位力方法則上式變為說明：①上式中右端一般只有幾項，並不定全部包括②單位力是一個廣義力③符號方面的規定④對平面行架只有軸力第一節虛位移原理及單位力方法令拉杆的截面積為A，則拉杆的應變能U在數值上等於作用在杆端的力P在加載過程中所作的功W（外力功），其運算式為為了介紹應變能和餘能的概念，以拉伸杆為例第二節應變能·餘能又則一．應變能再從另一角度來推導，外力功和應變能，從拉杆中取一各邊為單位長的單元體，則在拉杆的加載過程中，該單元體上外力所做的功為：根據功能原理設單元體各邊長分別為dx、dy、dz，則在加載過程中，該單元體內所積蓄的應變能為令dxdydz=dV，則整個拉杆內所積蓄的應變能為第二節應變能·餘能再根據虎克定律，得同樣的結果同理可得圓軸在扭轉時及梁在純彎曲時的應變能運算式和梁在橫力彎曲時與剪切變形相應的應變能第二節應變能·餘能再進一步考慮，設拉杆的材料是非線性的，以拉杆為例，杆端位移與施加在杆端的外力P之間的關係如圖所示同樣可從應力應變關係來推導外力功和應變能，從拉杆中取一單元體，在加載過程中，單元體上外力作的功及相應的應變能為第二節應變能·餘能設單元體各邊長分別為dx、dy、dz，則在加載過程中，該單元體內所積蓄的應變能為令dxdydz=dV，則整個拉杆內所積蓄的應變能為同理可得，梁和圓軸的單位應變能第二節應變能·餘能當外力從0增加到P時，由於材料為非線性，則拉杆的P－P曲線如圖所示，仿外力功的運算式計算另一個積分此積分從量綱上來看，和外力功是相同的，亦可視之為一種功。從右圖可以看出，此積分是－曲線與縱坐標軸間的面積，與時的