高中立体几何证明方法及例题（最全）.doc

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1.空间角与空间距离

在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。

2.立体几体的探索性问题

立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：（1）探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？（2）探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。

对命题条件的探索常采用以下三种方法：（1）先观察，尝试给出条件再证明；（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；（3）把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。

对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。

（一）平行与垂直关系的论证

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。

1.线线、线面、面面平行关系的转化：

可编辑

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α//

α//βαIY=

面面平行性质

}→a//b

a,βIY=bJ

Abaab)aα,bα

Aba

a

b

)

a//

a//b

a丈α,b

}

α

aIb=A}

αJαβa//β,b//β

αJ

α

β

→a//α→

→a//α

面面平行判定1

面面平行判定1

面面平行性质1

公理4(a//b,b//c

面面∥线线∥线面∥

面面∥

线线∥

→a

→a//c

)

β)α//a

β)

α//a

}

a//α)

αJ

aβ}

αIβ=bJ

→

→a//β

→a//b

面面平行性质

}α//Y)

}

β//YJ

→α//β

2.线线、线面、面面垂直关系的转化：

a

a,bα)

)

}→α丄β

→l丄α

三垂线定理、逆定理PA丄α,AO为PO

面面垂直性质，推论2

在α内射影aα

则a丄OA→a丄POa丄PO→a丄AO

)

α丄β)

αIβ=b}→a丄αaβ,a丄bJ

βJ

面面垂直判定

}→a丄Y=aJ

线面垂直定义

)

aIb=O}

l丄a,l丄bJ

α丄Yβ丄YαIβ

线面垂直判定1

a丄αa

l丄αa

线面⊥

线线⊥

面面⊥

→l丄a

}

αJ

面面垂直定义αIβ=

面面垂直定义

αIβ=l，且二面角α-l-β)

成直二面角J

3.平行与垂直关系的转化：

可编辑

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→b丄α

→α//β

a

a

线面垂直判定2

线线∥

线面垂直性质2

→a//b

面面平行判定2

面面∥线面⊥

面面∥

面面平行性质3

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5.唯一性结论：

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°(θ=0。时，b∥α或bα)

可编辑

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（3）二面角：二面角的平面角θ,0°θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

（三）空间距离：

求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。

求点到面的距离，一般找出（或作出）过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。

【典型例题】

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（一）与角有关的问题

例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为()

A.60°B.45°C.30°