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工程热力学与传热学第十章热传导

一、热传导基本概念

热传导是物质内部或不同物质之间由于温度差异而发生的能量传递现象。在热传导过程中，热量通过分子、原子或自由电子的振动和碰撞来传递。热传导的基本规律遵循傅里叶定律，该定律指出，单位时间内通过单位面积的热量与温度梯度成正比，与材料的导热系数成正比，与面积成正比。热传导的速率取决于材料的导热系数，导热系数高的材料具有较好的导热性能。在实际应用中，热传导可以分为稳态热传导和非稳态热传导。稳态热传导是指系统达到热平衡状态，温度分布不再随时间变化的热传导过程。而非稳态热传导则是指系统未达到热平衡状态，温度分布随时间变化的热传导过程。

热传导的数学描述是通过热传导方程来实现的。热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度随时间和空间的变化关系。该方程在直角坐标系下可以表示为：\(\frac{\partialT}{\partialt}=\alpha\nabla^2T\)，其中\(T\)表示温度，\(t\)表示时间，\(\alpha\)表示材料的导热系数，\(\nabla^2\)表示拉普拉斯算子。热传导方程的边界条件描述了物体表面或界面处的温度分布情况。常见的边界条件包括第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。第一类边界条件规定了物体表面的温度分布，第二类边界条件规定了物体表面的热流量，第三类边界条件则规定了物体表面的对流换热。

在实际的热传导问题中，由于问题的复杂性和多样性，求解热传导方程通常需要采用数值方法。常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。有限差分法通过将连续域离散化成有限个网格点，在每个网格点上求解热传导方程的近似解。有限元法则是将连续域离散化成有限个单元，每个单元上定义温度场，通过求解单元内的温度分布来近似整个域的温度分布。有限体积法则将连续域划分为有限个体积单元，在每个体积单元上应用积分形式的控制方程，通过求解积分方程来得到温度分布。这些数值方法在工程实践中得到了广泛的应用，为解决复杂的热传导问题提供了有效的工具。

二、热传导方程及边界条件

(1)热传导方程是描述物体内部或物体间热量传递的基本方程。在直角坐标系中，稳态热传导方程可以表示为：\(\frac{\partialT}{\partialx}+\frac{\partialT}{\partialy}+\frac{\partialT}{\partialz}=0\)。该方程表明，在稳态条件下，热量在物体内部的传播方向与温度梯度方向相反。例如，在金属棒的一端加热至高温，另一端保持低温，通过热传导方程可以计算在某一时间后金属棒的温度分布。

(2)热传导方程的边界条件对于求解具体问题至关重要。第一类边界条件指的是物体表面的温度已知，如在一个方形金属板的侧面施加恒定温度，即\(T=T_0\)。第二类边界条件是指物体表面的热流量已知，如通过一个热电阻的电流导致其表面热流量恒定。第三类边界条件则是物体表面与外界环境之间存在对流换热，如空气流过散热器表面。例如，一个直径为10厘米的圆形金属棒，其一端温度为100摄氏度，另一端温度为0摄氏度，表面与空气对流换热系数为25W/(m2·K)，通过求解热传导方程和相应的边界条件，可以计算出金属棒在不同位置的温升。

(3)在实际应用中，热传导方程和边界条件可以通过多种方法求解。例如，有限差分法通过将连续域离散化，在每个离散点上求解方程，然后通过迭代计算得到整个域的温度分布。以一个长为1米、宽为0.1米的矩形平板为例，假设平板的边界条件为：上下表面温度分别为300K和300K，左右表面温度分别为300K和400K，求解热传导方程，可以得到平板内部不同位置的温度值。有限元法将物体划分为有限个单元，在每个单元上定义温度分布，通过求解全局方程组来得到整个域的温度分布。以一个热交换器为例，通过有限元法可以计算热交换器内部温度分布，从而优化热交换器的性能。

三、热传导问题的求解方法

(1)有限差分法是解决热传导问题的一种常用数值方法。该方法通过将连续域离散化成有限个网格点，在每个网格点上求解热传导方程的近似解。例如，在求解一个二维稳态热传导问题时，可以将区域划分为若干个正方形网格，然后在每个网格点上应用差分公式，通过迭代计算得到整个区域的温度分布。在实际应用中，有限差分法可以处理复杂的边界条件和几何形状，如多孔介质、复合材料等。

(2)有限元法是另一种广泛使用的数值方法，用于求解热传导问题。有限元法将连续域划分为有限个单元，每个单元上定义温度场，通过求解单元内的温度分布来近似整个域的温度分布。在求解过程中，单元内的温度分布通过插值函数来描述，插值函数通常选择多项式函数。有限元法具有很高的灵活性，可以处理复杂的边界条件和几何形状，同时能够精确地模拟材料的热物理性