《动态规划模型举例》课件.pptVIP

*******************动态规划模型举例本课件将通过几个例子，详细介绍动态规划模型的应用及实现。课程导引课程目标帮助学生掌握动态规划模型的基本思想、应用场景及常见问题类型学习内容动态规划的概念、算法思想、常用技巧及应用举例教学模式理论讲解、案例分析、代码演示、互动练习动态规划概述动态规划是一种将复杂问题分解成多个子问题，并存储子问题的解以避免重复计算的方法。它常用于优化问题，例如寻找最短路径、最优资源分配和最优策略等。使用场景最优路径问题例如，寻找地图上两点之间的最短路径，或者规划物流配送路线。资源分配问题比如，分配有限资源以最大化收益，例如分配生产任务或分配广告预算。决策优化问题例如，在投资组合管理中，选择最佳资产组合以最大化回报。优点与局限性优点解决复杂问题、优化效率局限性空间复杂度高、难以理解算法思想1分解问题将大问题分解成若干子问题2存储结果将子问题的解存储起来，避免重复计算3递推求解利用子问题的解，递推求解原问题状态定义状态定义定义问题每个阶段的特征，用于描述问题求解过程中的状态，例如当前位置、已选物品等。状态定义举例斐波那契数列第n项，背包问题中已选物品的重量，矩阵连乘问题中已连乘的矩阵范围等。状态转移方程1定义状态转移方程描述了从一个状态到另一个状态的转换过程。它基于当前状态和已知信息来计算目标状态的值。2公式状态转移方程通常用数学公式表示，例如：dp[i]=dp[i-1]+cost[i]。其中dp[i]表示第i个状态的值，cost[i]表示从第i-1个状态到第i个状态的代价。3应用状态转移方程是动态规划算法的核心，用于递归地构建最优解。它将问题分解成子问题，并利用子问题的解来计算最终解。边界条件初始状态动态规划算法通常需要一个初始状态，代表问题最基本的情况。特殊情况一些动态规划问题可能需要处理一些特殊情况，比如空串、空数组等。问题求解步骤1确定状态2状态转移方程3边界条件4初始化5遍历状态斐波那契数列动态规划解状态定义dp[i]表示第i个斐波那契数的值状态转移方程dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]边界条件dp[0]=0,dp[1]=1问题求解计算dp[n]即为第n个斐波那契数的值矩阵连乘问题1问题描述给定n个矩阵A1，A2，...，An，要求计算它们的乘积A1A2...An，并找出最优的加括号方案，使得乘法运算次数最少。2动态规划思想将问题分解成子问题，并利用子问题的解来求解原问题，避免重复计算。3状态定义定义状态dp[i][j]表示矩阵Ai到Aj的乘积最少需要的乘法次数。4状态转移方程dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]+pi-1pkpj}，其中k∈[i,j-1]5边界条件当i=j时，dp[i][j]=0背包问题1问题描述给定一个背包，容量为C，以及n个物品，每个物品都有重量wi和价值vi。要求选择若干物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，且总重量不超过背包容量。2动态规划求解定义dp[i][j]表示从前i个物品中选取总重量不超过j的最大价值。3状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wi]+vi)最长公共子序列1问题定义求解两个字符串的最长公共子序列2动态规划思想利用子问题的最优解构建问题的最优解3状态定义dp[i][j]表示字符串A的前i个字符和字符串B的前j个字符的最长公共子序列长度4状态转移方程if(A[i]==B[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;elsedp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])5边界条件dp[0][j]=dp[i][0]=0编辑距离定义编辑距离是指将一个字符串转换为另一个字符串所需的最小操作次数。操作允许的操作包括插入、删除和替换字符。应用广泛应用于拼写检查、文本相似度计算和基因序列比对等领域。股票买卖问题问题描述给定一个股票价格的数组，找出最佳的买卖时机，以获得最大利润。动态规划思路定义状态dp[i]表示在第i天卖出股票所能获得的最大利润。状态转移方程dp[i]=max(dp[i-1],prices[i]-minPrice)边界条件dp[0]=0,minPrice=prices[0]硬币找零问