2024_2025年高中数学第二章随机变量及其分布课时跟踪训练12事件的相互独立性新人教A版选修2_3.docVIP

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课时跟踪训练(十二)事务的相互独立性

(时间45分钟)

题型对点练(时间20分钟)

题组一事务独立性的推断

1．下列事务A，B是相互独立事务的是()

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“其次次为反面”

B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“其次次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”

[解析]把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事务；B中是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为对立事务；D中事务B受事务A的影响．故选A.

[答案]A

2．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示其次次取得白球，则A1和A2是()

A．互斥的事务

B．相互独立的事务

C．对立的事务

D．不相互独立的事务

[解析]P(A1)＝eq\f(3,5)，若A1发生，则P(A2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)；若A1不发生，则P(A2)＝eq\f(3,4)，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事务．故选D.

[答案]D

3．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，探讨A与B的独立性：

(1)家庭中有两个小孩．

(2)家庭中有三个小孩．

[解]有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，

它有4个基本领件，由等可能性知概率都为eq\f(1,4).

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，

B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).

由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，

所以事务A，B不相互独立．

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的全部可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．

由等可能性知这8个基本领件的概率均为eq\f(1,8)，这时A中含有6个基本领件，B中含有4个基本领件，AB中含有3个基本领件．

于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，

明显有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．

从而事务A与B是相互独立的．

题组二相互独立事务同时发生的概率

4．如图，元件Ai(i＝1,2,3,4)通过电流的概率是0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是()

A．0.729B．0.8829C．0.864D．0.9891

[解析]电流能通过A1，A2的概率为0.9×0.9＝0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1，A2且也不能通过A3的概率为(1－0.81)×(1－0.9)＝0.019.故电流能通过系统A1，A2，A3的概率为1－0.019＝0.981.而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是0.981×0.9＝0.8829.

[答案]B

5．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()

A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)

[解析]“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事务A，则P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事务B，则P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，事务A、B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，故选A.

[答案]A

6．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．

[解析]由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq\