2024_2025年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案新人教A版选修2_3.docVIP

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1．3.1二项式定理

[教材研读]

预习教材P29～31，思索以下问题

1．二项式定理的内容是什么？其通项公式又是什么？

2．二项式定理有何结构特征，二项绽开式中某项的二项式系数与某项的系数有区分吗？

[要点梳理]

1．二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)绽开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项绽开式，绽开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n}叫做二项式系数．

2．二项绽开式的通项公式

(a＋b)n绽开式的第k＋1项叫做二项绽开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.

[自我诊断]

推断(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．(a＋b)n绽开式中共有n项．()

2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n绽开式中第r＋1项相同．()

3．Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n绽开式中的第k项．()

[答案]1.×2.×3.×

eq\a\vs4\al(题型一二项式定理)

思索：你能写出(b＋a)n的二项绽开式吗？二项绽开式中的字母a，b能交换位置吗？

提示：①(b＋a)n＝Ceq\o\al(0,n)bn＋Ceq\o\al(1,n)bn－1a＋Ceq\o\al(2,n)bn－2a2＋…＋Ceq\o\al(n,n)an.

②二项绽开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(a＋b)n与(b＋a)n结果相同，但(a＋b)n与(b＋a)n的绽开式是有区分的，二者的绽开式中的项的排列依次是不同的，不能混淆，如(a＋b)3的绽开式中第2项是3a2b，而(b＋a)3的绽开式中第2项是3ab2，两者是不同的．

(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的绽开式；

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

[思路导引](1)干脆利用二项式定理绽开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的a，b及n的值．

[解](1)解法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq\o\al(0,4)(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\f(1,\r(x))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)·3eq\r(x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).

解法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(?3x＋1?4,x2)

＝eq\f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)

＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).

(2)原式＝Ceq\o\al(0,5)(x－1)5＋Ceq\o\al(1,5)(x－1)4＋Ceq\o\al(2,5)(x－1)3＋Ceq\o\al(3,5)(x－1)2＋Ceq\o\al(4,5)(x－1)＋Ceq\o\al(5,5)(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简洁的二项绽开式时可干脆由二项式定理绽开，绽开时留意二项绽开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的绽开式中会出现正负间隔的状况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理绽开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟识公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[跟踪训练]

利用(a＋b)n的二项绽开式解题．

(1)求(a＋2b)4的绽开式；

(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5的绽开式．

[解](1)依据二项式