2024_2025年高中数学第一章计数原理课时跟踪训练8“杨辉三角”与二项式系数的性质新人教A版选修2_3.docVIP

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课时跟踪训练(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质

(时间45分钟)

题型对点练(时间20分钟)

题组一与杨辉三角有关的问题

1．杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()

A．第6行 B．第7行

C．第8行 D．第9行

[解析]由题意，第6行为1615201561，第7行为172135352171，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．

[答案]B

2．如图数表满意：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________．

[解析]由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝eq\f(n?n－1?,2)＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).

[答案]eq\f(n2－n＋2,2)

3．将“杨辉三角”中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．

从上往下数，第1次全行数都为1的是第1行，第2次全行数都为1的是第3行，…，第n次全行数都为1的是第________行；第61行中的1的个数是________．

[解析]写出0－1三角数表的前面几行，如图

可以看出第1次全行数都为1的是第1行共2个1，第2次全行数都为1的是第3行共4个1，第3次全行数都为1的是第7行共8个1，第4次全行数都为1的是第15行共16个1，所以第n次全行数都为1的是第(2n－1)行共2n个1.故填2n－1.

而且第(2n－2)行与第(2n－3)行中分别都有2n－1个1，所以当n＝6时，2n－1＝26－1＝63，第63行全是1(第6次全行数都为1)，第61行共有26－1＝25＝32个1.故填32.

[答案]2n－132

题组二求绽开式的系数和

4．(2x－1)10的绽开式中x的奇次幂项的系数之和为()

A.eq\f(1＋310,2) B.eq\f(1－310,2)

C.eq\f(310－1,2) D．－eq\f(1＋310,2)

[解析]设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，

令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得，a1＋a3＋…＋a9＝eq\f(1－310,2)，故选B.

[答案]B

5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.

[解析]利用二项式绽开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即a10＋a11＝0.

[答案]0

6．设(2－eq\r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：

(1)a0；

(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；

(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；

(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.

[解](1)令x＝0，可得a0＝2100.

(2)令x＝1，可得

a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100，(*)

所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq\r(3))100－2100，

(3)令x＝－1.

可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.

与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝eq\f(?2－\r(3)?100－?2＋\r(3)?100,2).

(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))]100＝1100＝1.

(5)∵Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,100)2100－r(eq\r(3))rxr，

∴a2r－10(r∈N*)．

∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq\r(3))100.

题组三绽开式中的最大值问题

7．(1＋2x)n的绽开式中第6项与第7项的系数相等，则绽开式中二项式系数最大的项为()

A．第5项B．第6项或第7项

C．第6项D．第7项

[解析]T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依题意有Ceq\o\al(5,n)×25＝Ceq\o\al(6,n)×26?n＝8.

所以(1＋2x)8的绽开式中，二