第十七章　勾股定理 专题训练二　利用勾股定理解决最短路径问题 （含答案）数学人教版八年级下册.docxVIP

2025年

专题训练二利用勾股定理解决最短路径问题

平面中的最短路径问题

1.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=12,BD=13,P是线段BC上的一动点,则PD的最小值是 ()

A.6 B.5 C.13 D.12

2.如图,已知D,E分别是等边三角形ABC中边BC,AB上的中点,AB=6,F是线段AD上的动点,则BF+EF的最小值为 ()

A.3 B.6 C.9 D.33

3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为边AC上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,则PB+PD的最小值为.?

4.【问题提出】

(1)如图1,某牧马人要从A地前往B地,途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水,经测量A点到河边的距离AC为300m,B点到河边的距离BD为900m,且点C,D间的距离为900m,请计算该牧马人运动的最短路径长.

【问题探究】

(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,BC=6,AC的垂直平分线分别交边AB,AC于点E,F,△ABC的面积为24,若D是边BC的中点,M是线段EF上的一动点,请求出△CDM周长的最小值.

【问题解决】

(3)如图3,某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD,∠C=∠ADC=90°,AD=70m,CD=60m,BC=110m,在AB的中点处有一个出货口M,在BC上有一个质检口N,点D为货物包装口.为了使得该生产车间出货——质检——包装过程达到最高效率,现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口N到包装口D的距离ND之和最短(即MN+ND最短).已知出货口M到CD的距离为90m,请根据要求计算出MN+ND的最小值.

图1图2图3

几何体中的最短路径问题

5.(传统文化)华表是一种中国传统建筑形式,天安门前耸立着高大的汉白玉华表,每根华表重约20000公斤.如图,在底面周长约为3m带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底向柱顶(从点A到点B)均匀地盘绕3圈,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12m,则雕刻在华表上的巨龙至少长 ()

A.317m B.20m C.15m D.92m

6.如图,用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体,沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中,最短路径的长是 ()

A.13 B.2+5

C.3 D.4

7.(2024德州齐河县月考)如图,一段楼梯高BC是6m,斜边AC长10m,在楼梯上铺地毯,地毯至少长m.?

8.(新情境)H·E·杜登尼是19世纪英国知名的谜题创作者.“蜘蛛和苍蝇”问题最早出现在1903年的英国报纸上,它是杜登尼最有名的谜题之一.如图,在一个30英尺×12英尺×12英尺的长方体房间,一只蜘蛛在一面墙的中间离天花板1英尺的地方,苍蝇则在对面墙的中间离地板1英尺的地方.苍蝇是如此害怕,以至于无法动弹.试问,蜘蛛为了捉住苍蝇需要爬的最短路径长是多少?

9.(2024赣州期中)如图1,圆柱的底面直径为6cm,高为12cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行,探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米.

(1)图2是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AACC,点B在线段CC上,求CC的长(π取3).

(2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径,并求出最短路径的长度.

图1图2

【详解答案】

1.B解析:如图,过点D作DE⊥BC于点E,则PD的最小值是DE的长.

∵∠A=90°,BD平分∠ABC,

∴AD=DE.

∵AB=12,BD=13,

∴AD=BD2-

∴DE=5,即PD的最小值是5.故选B.

2.D解析:如图,连接CE交AD于点F,连接BF.

∵△ABC是等边三角形,D,E是边BC,AB的中点,∴AD垂直平分BC,CE垂直平分AB.∴BF=CF,BE=AE=12AB=3

∴BF+EF=CF+EF=CE时,BF+EF的值最小.∵CE=BC2-BE2=62-32=

3.245解析:如图,作点B关于AC的对称点B,过点B作BD⊥AB于点D,交AC于点P,此时PB+PD有最小值,为BD的长,连接

根据对称的性质知,BP=BP,BC=BC,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB=AC2+BC2

∠ACB=∠ACB,BC=BC,∴△ABC≌△ABC(SAS).∴S△ABB=S△ABC+S△ABC=2S△ABC,即12AB·BD=2×12BC

∴5BD=2×3×4=24.∴BD=245,即PB+PD的最小值为24

4.解:(1)如图1,作点A关于直线l的对称点A,连接BA交直线l于点P,连接PA,此时PA+PB