中考沪科版数学八年级压轴题 专题11 全等三角形模型之一线三等角和三垂直模型-解析版.docx

专题11全等三角形模型之

一线三等角和三垂直模型

目录

TOC\o1-3\h\z\u解题知识必备 1

压轴题型讲练 2

模型一、一线三等角模型 2

模型二、分三垂直模型 13

压轴能力测评 27

模型三、一线三等角模型

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.

模型四、三垂直全等模型

【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。

【常见模型】

模型一、一线三等角模型

例．如图，点A，B的坐标分别是和，分别以点A，B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在第二象限交于点C，连接，．则点C的坐标为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作，并作轴于点，首先确定为等边三角形，然后利用“一线三等角”证明，从而利用全等三角形的性质以及解直角三角形的方法求出和，即可得出结论．

【详解】解：如图，作，并作轴于点，

??

由题意，为等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

，

∴，

∴点．

故选：D．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，理解等边三角形的性质，灵活构造全等三角形并证明是解题关键．

【变式训练1】．如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（????）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【分析】要求的面积，想到过点作，垂足为，因为题目已知，想到把放在直角三角形中，所以过点作，垂足为，利用勾股定理求出的长，最后证明即可解答．

【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

在中，，，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

，

，

的面积，

，

，

故选：A．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．

【变式训练2】．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（?????）．

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

【答案】A

【分析】设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．

【详解】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，

由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

又∵AC=CB，

∴△DAC≌△ECB（AAS），

∴CD=BE=2xcm，

∵，，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．

【变式训练3】．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）

A．3 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到结论．

【详解】解：∵AB＝AC＝9，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，

∴∠BAD＝∠CDE，

∵AE的中垂线交BC于点D，

∴AD＝ED，

在△ABD与△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（AAS），

∴CD＝AB＝9，BD＝CE，

∵CD＝3BD，

∴CE＝BD＝3

故选：A．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题．

【变式训练4】．如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为．

????

【答案】10

【分析】先证明，再证明，即可作答．

【详解】，

又，

，

，，

，

，，

，，

，

故答案为：10．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．

【变式训练5】．如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为．

【答案】8

【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即