四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题答案.docx

高二半期数学参考答案

一、单项选择题：DBCCACDC

二、多项选择题：9．BD10．AC11．ABD

填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12．13．14．

四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15．解：（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，

由题意可知事件A、B相互独立.因为两轮选拔之间相互独立，

所以，.………………4分

则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：

所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.……7分

（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，则.…………9分

因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”

所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为

…13分

16．（本小题满分15分）

解：（1）因为第三?四?五组的频率之和为0.7，

所以，解得，……2分

所以前两组的频率之和为，即，所以.…………4分

（2）众数为

平均数为，

前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，

所以分位数在第三组，且为.………………8分

（3）第四?第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，

则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，……………10分

则从这5人中选出2人，有共10种结果，…………………12分

两人来自不同组有共4种结果，……………14分

所以两人来自不同组的概率为.………………15分

17．（本小题满分15分）

解：（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离1，符合要求；…2分

当直线斜率存在时，设，即，

则有，解得，故；

综上所述，直线的方程为或；………………5分

（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线的方程为…………………7分

当直线在两坐标轴上截距不为0时，由已知设直线的方程，因为直线过点，所以，此时直线的方程为

综上所述，直线的方程为或；………………10分

（3）如图，设，则，，

即，

由，则，

故当时，有.………15分

18．解：（1）因为，，，所以四边形为矩形，

在中，，，，

则，，，

又平面平面，平面，平面平面，

平面；……………………5分

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

，，可得，

则，，，，，

设平面的法向量为，，，

由，令，则，即，

设平面的法向量为，，

由，令，则，，即，

则，

二面角的正弦值为；……………11分

（3）由点为靠近点的的四等分点，故，

则，

又平面的法向量为，

故直线与平面所成的角的正弦值为：

，

即直线与平面所成的角的余弦值为.……………17分

19．（本小题满分17分）

解：（1）连接，因为为棱台，所以四点共面，

又因为四边形为菱形，所以，

因为平面，平面，所以，

又因为，且平面，

所以平面，因为平面，所以；……………5分

（2）取中点，连接，

因为底面是菱形，且，所以是正三角形，

所以，即，由于平面，以为原点，

分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，

则，

设，则，，

，，

设平面的法向量为m=x,y,z

则有，令，则，，即，

由平面，则，即有，

解得，即；…………………11分

（3）假设点存在，设点的坐标为，其中，可得，

设平面的法向量n=a,b,c，则，

令，即，所以，

又由平面的法向量为，所以，解得，

由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即，

故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.…………17分