1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值（课件）-2024-2025学年高二数学（湘教版2019选择性必修第二册）.pptx

1.3导数在研究函数中的应用1.3.3三次函数的性质：单调区间和极值湘教版选择性必修第二册第1章导数及其应用

学习目标目标1重点2难点3会求三次函数的单调区间；会求三次函数的极值，及闭区间上的最值；三次函数的图像与其导函数的图像的关系.会求三次函数的极值，及闭区间上的最值；三次函数的图像与其导函数的图像的关系.三次函数的图像与其导函数的图像的关系.

设函数y=f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是区间(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于或等于f(x0)（即f(x)≤f(x0)），就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点．若点x0附近的函数值都大于或等于f(x0)（即f(x)≥f(x0)），就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个极小值点．温故知新极值与极值点的概念：

（1）求导数f′(x)．（2）求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的解．（3）对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左右两侧的符号（即讨论f(x)的单调性），确定极值点：①若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；②若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点．（4）求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值．求可导函数极值的一般步骤：温故知新

利用函数的导数来研究函数的性质，不但便捷，而且具有一般性．只要能算出函数的导数并求出导函数的零点，便能把该函数的单调区间和极值点一一列出，做到一目了然．三次函数的导数是二次函数，二次函数的零点是容易求出的，所以用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极值点．新课导入思考1：前面研究二次函数单调性和最值，我们用了哪些方法？配方法和导数法思考2：研究三次函数单调性和最值，我们可以用什么方法？

下面利用导数的方法研究一般的三次函数．设三次函数F(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，请对F(x)求导新课讲授F′(x)=3ax2＋2bx＋c是二次函数．思考：F′(x)=3ax2＋2bx＋c=0，二次方程根的情况，如何讨论？0个根，1个根，2个根

新课讲授情形1若函数F′(x)没有零点，则F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号．（1）若a0，则F′(x)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．

新课讲授（2）若a0，则F′(x)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．

情形2函数F′(x)=3ax2＋2bx＋c有一个零点x=w，如图．(1)若a0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增．新课讲授

情形2函数F′(x)=3ax2＋2bx＋c有一个零点x=w，如图．(2)若a0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)恒为负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．新课讲授

情形3函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，如图．（1）若a0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为正，在(u，v)为负，对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．由此可见F(x)在x=u处取得极大值，在x=v处取得极小值．新课讲授

情形3函数F′(x)有两个零点x=u和x=v，如图．（2）若a0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)为负，在(u，v)为正，对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．由此可见F(x)在x=u处取得极小值，在x=v处取得极大值．新课讲授

例6求下列函数的单调区间和极值．（1）f(x)=x3－x2＋2x＋1；（2）h(x)=－2x3＋9x2－12x＋5．典例分析

例6求下列函数的单调区间和极值．（1）f(x)=x3－x2＋2x＋1；（2）h(x)=－2x3＋9x2－12x＋5．x(－∞，1)1(1，2)2(2，＋∞)h′(x)h(x)－0＋0－递减↘极小值0递增↗极大值1递减↘典例分析

例6中函数f(x)=x3－x2＋2x＋1和h(x)=－2x3＋9x2－12x＋5的图像．典例分析

练习1求函数f(x)=－x3＋27x＋7的单调区间和极值．学以致用

利用导数可以求出函数在