概率论与数理统计第五章统计量的分布.ppt

?2分布的数学期望与方差（补充）设?2～?2(n)，则E(?2)=n，D(?2)=2n.?2分布的可加性设且相互独立，则第14页,共40页，星期六，2024年，5月性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(?，?2)的样本，则证明由已知，有Xi～N(?，?2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则且各相互独立，由定义5.3得(P111第五题要用到此结论.)第15页,共40页，星期六，2024年，5月定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(?，?2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)(5.8)(5.8)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，是n个正态随机变量的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(5.8)式的自由度是n-1.第16页,共40页，星期六，2024年，5月定理5.1设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(?，?2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)(5.8)与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(?，?2)的样本，则第17页,共40页，星期六，2024年，5月三、t分布定义5.4设随机变量X～N(0，1)，Y～?2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布或学生氏分布，记作t分布的概率密度函数为T～t(n).其图形如图5-6所示(P106)，其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.第18页,共40页，星期六，2024年，5月当n较大时，t分布近似于标准正态分布.一般说来，当n30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P{|T|≥t0}≥P{|X|≥t0}，其中X～N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.t分布的数学期望与方差（补充）设T～t(n)，则E(T)=0，D(T)=第19页,共40页，星期六，2024年，5月定理5.2设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(?，?2)的样本，则统计量证由于与S2相互独立，且由定义5.4得第20页,共40页，星期六，2024年，5月定理5.3设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分别是来自正态总体N(?1，?2)和N(?2，?2)的样本，且它们相互独立，则统计量其中、分别为两总体的样本方差.(证略).第21页,共40页，星期六，2024年，5月t分布的上?分位数对于给定的?(0?1)，称满足条件的数t?(n)为t分布的上?分位数或上侧临界值，其几何意义见图5-7.f(t)tOt?(n)?图5-7第22页,共40页，星期六，2024年，5月t分布的双侧?分位数由于t分布的对称性，称满足条件的数t?/2(n)为t分布的双侧?分位数或双侧临界值，其几何意义如图5-8所示.f(t)tOt?/2(n)?/2?/2-t?/2(n)图5-8第23页,共40页，星期六，2024年，5月在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表.例如，当n=15，?=0.05时，查t分布表得，t0.05(15)=t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.但当n45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t?(n)的值.即t?(n)≈u?，n45.一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.第24页,共40页，星期六，2024年，5月四、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5