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数学样本估计总体

在上节课中，我们知道在选取样本时应注意的问题，其一是所选取的样本必须具有代表性，其二是所选取的样本的容量应该足够大，这样的样本才能反映总体的特性，所选取的样本才比较可靠.第2页,共23页，星期六，2024年，5月

随机抽样调查是了解总体情况的一种重要的数学方法，抽样是它的一个关键，上节课介绍了简单的随机抽样方法，即用抽签的方法来选取样本，这使每个个体都有相等的机会被选入样本．第3页,共23页，星期六，2024年，5月

判断下面这些抽样调查选取样本的方法是否合适，若不合适，请说明理由．(1)为调查江苏省的环境污染情况，调查了长江以南的南京市、常州市、苏州市、镇江市、无锡市的环境污染情况．(2)从100名学生中，随机抽取2名学生，测量他们的身高来估算这100名学生的平均身高．(3)从一批灯泡中随机抽取50个进行试验，估算这批灯泡的使用寿命．(4)为了解观众对中央电视台第一套节目的收视率，对所有上英特网的家庭进行在线调查．第4页,共23页，星期六，2024年，5月

解:(1)不合适．因为调查对象在总体中必须有代表性，现在所调查的这些地方的环境污染情况仅仅代表了长江以南地区，并不能代表整个江苏省的环境污染情况．(2)不合适．因为抽样调查时所抽取的样本要足够大，现在只抽取了2名学生的身高，不能用来估算100名学生的平均身高．(3)合适．(4)不合适．虽然调查的家庭很多，但仅仅增加调查的数量不一定能够提高调查质量，本题中所调查的仅代表上英特网的家庭，不能代表不上英特网的家庭，因此这样的抽样调查不具有普遍代表性．第5页,共23页，星期六，2024年，5月

让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠。上一节中，老师选取的一个样本是：随机数(学号）11125416794276成绩8086669167第6页,共23页，星期六，2024年，5月

它的频数分布直方图、平均成绩和标准差分别如下：第7页,共23页，星期六，2024年，5月

另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，如下表：随机数（学号绩7873766975同样，也可以作出这两个样本的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和标准差，如下图所示：随机数（学号）901678627554成绩7286838282第8页,共23页，星期六，2024年，5月

样本平均成绩为80.8分，标准差为6.5分样本平均成绩为74.2分，标准差为3.8分第9页,共23页，星期六，2024年，5月

从以上三张图比较来看，它们之间存在明显的差异，平均数和标准差与总体的平均数与标准差也相去甚远，显然这样选择的样本不能反映总体的特性，是不可靠的。第10页,共23页，星期六，2024年，5月

2、选择恰当的样本个体数目样本平均成绩为75.7分，标准差为10.2分样本平均成绩为77.1分，标准差为10.7分第11页,共23页，星期六，2024年，5月

当样本中个体太少时，样本的平均数、标准差往往差距较大，如果选取适当的样本的个体数，各个样本的平均数、标准差与总体的标准差相当接近。第12页,共23页，星期六，2024年，5月

北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示：第13页,共23页，星期六，2024年，5月

2、体会用样本估计总体的合理性经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。第14页,共23页，星期六，2024年，5月

随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的.对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围.第15页,共23页，星期六，2024年，5月

3、加权平均数的求法问题1：在计算20个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示：然后,他这样计算这20个学生的平均身高：小华这样计算平均数可以吗？为什么？第16页,共23页，星期六，2024年，5月

问题2：假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如表所示.小强这样计算全年级男同学的平均身高：小强这样计算平均数可以吗？为什么？第17页,共23页，星期六，2024年，5月

为了检查一批手榴弹的杀伤半径，抽取了其中20颗做试验，得到这20颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：练习1：第18页,共23页，星期六，2024年，5月

(1)在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2)求出这20颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径．第19页,共23页