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《定积分的几何应用》

25.6.1微元法的基本思想1.回顾曲边梯形的面积问题具体步骤“四步曲”把原曲边梯形分成n个窄曲边梯形,（1）分割（2）代替（4）取极限记作abxyo第i个窄曲边梯形面积记为?Ai;（3）求和

3在实际应用时，然后把dA在[a,b]上作定积分，这就是所说的微元法或元素法。abxyo应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。

42.应用微元法的一般步骤：(1)根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]；(2)在[a,b]上，任取一小区间[x,x+dx]；

55.6.2平面图形的面积1.直角坐标情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积

6例1计算两条抛物线y=x2，y2=x所围图形的面积。解由取y为积分变量,变化范围为[0,1]得面积元素(1,1)Oy=x2y2=xyx1x+dxx1yy+dy得交点

7选x作积分变量，则x的取值范围是[0,?]例2求y=sinx,y=sin2x(0?x??)所围图形的面积。解由得交点(0,0)，,(?,0)yOxy=sin2xy=sinx

8例3求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。解抛物线焦点为F(a,0)，得N、M的纵坐标分别为过焦点的弦MN的方程可表示为：x=ky+a显然，当k=0时，所求图形的面积为最小。(即MN垂直于x轴时)y1y2Oyx(a,0)NM

9曲线由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积2.参数表示的情形

10例4求椭圆解所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式利用对称性,

11例5求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积。解xy2?ao

123.极坐标的情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为

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14解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积例6求双纽线所围图形面积.

15解利用对称性,例7求心形线所围图形的面积

165.6.3体积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。圆柱圆锥圆台

17成的立体体积，考虑连续曲线段旋转体的体积为当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有绕x轴旋转一周围取x作积分变量,在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]薄片的体积元素为

18解例8椭圆所围图形分别绕x轴、y轴旋转而生成立体的体积。绕x轴旋转时，(利用对称性)椭圆参数方程特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积

19(利用对称性)绕y轴旋转时，椭圆参数方程

20解:绕x轴旋转的旋转体体积利用对称性例9计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.

21绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差。注意上下限!

22例10证明由平面图形0?a?x?b，0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为xx+dx证明(不要求0?y?f(x)时)

232.平行截面已知的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,

24例11一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成?角,解如图所示取坐标系,则圆的方程为计算该平面截圆柱体所得立体的体积.选择y作积分变量垂直于y轴的截面是矩形,其面积为

25例12计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。解底圆方程为截面是等边三角形截面面积xyoR

265.6.4平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长?→0时,折线的总长度趋向于一个确定的极限,称此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的。定理:任意光滑曲线弧都是可求长的。(证明略)(具有连续导数)

27得弧长元素：利用微元法来讨论平面光滑曲线弧长的计算公式得弧长公式1.直角坐标方程的曲线弧长公式2.参