1.3.1函数的单调性与导数（课件）-2024-2025学年高二数学（湘教版2019选择性必修第二册）.pptx

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数湘教版选择性必修第二册第1章导数及其应用

学习目标目标1理解探索函数的单调性与导数的关系的过程掌握函数的单调性与导数的关系会利用导数求函数的单调区间重点2难点3探索函数的单调性与导数的关系的过程掌握函数的单调性与导数的关系会利用导数求函数的单调区间

两函数之和差的求导法则：两函数乘积的求导法则：函数常数倍的求导法则：两函数之商的求导法则：温故知新

温故知新交流与讨论如何判断证明函数单调性？请你判断函数的单调性。xyO定义法图象法

新课导入以往我们是从单调性的定义或者图像出发去判断一个函数在区间(a，b)上的单调性，但当函数的解析式较复杂时，图像并不好画，对于x1≠x2，要想对f(x1)与f(x2)的大小关系或对平均变化率的正负作出一个明确的判断，不是一件容易的事情．现在，导数给我们提供了一种解决此类问题的有效方法．

新课讲授我们继续研究函数的单调性。1.请求出函数的导数2.请在同一坐标系下画出函数和其导函数y=2x的图像.3.结合图像请观察原函数的单调性与导函数的正负之间的关系？

新课讲授观察图象可以发现：在y轴的右边，f(x)=x2单调递增，其导数为正；在y轴的左边，f(x)=x2单调递减，其导数为负．这个结论对其他函数是否成立？请大家观察下面函数图像，探究函数单调性与导函数正负是否也有一样的结果。

观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.新课讲授原函数的单调递增导函数为正原函数的单调递减导函数为负

函数f(x)=sinx和它的导函数f′(x)=cosx在的图象如下．如图，过这段导函数曲线和x轴的两个交点分别作平行于y轴的直线，则这两条直线把f(x)=sinx及其导函数的图象分成了左、中、右三部分．新课讲授

函数f(x)=sinx和它的导函数f′(x)=cosx在的图象如下．分别观察每部分中的两段曲线，可以发现函数和它的导函数的符号之间有如下关联：新课讲授左边，函数单调递增，导数为正中间，函数单调递减，导数为负右边，函数单调递增，导数还是为正

是不是函数的单调性和它的导数的正负之间有确定的联系呢?让我们观察更多的例子．图（1）是函数f(x)=ex－x和它的导函数f′(x)=ex－1的图象．新课讲授

图（2）是函数和它的导函数的图象．新课讲授

通过对这些例子的观察，我们发现，对于一般函数，其单调性与其导数的正负之间有如下法则：若在区间(a，b)内，f′(x)0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间；若在区间(a，b)内，f′(x)0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间．新课讲授导数的几何意义是切点处切线的斜率，你能从几何意义的角度，解释上面函数单调性与其导数的关系吗？

直观地看，导数为正表明切线的斜率为正，这是增函数曲线的几何特征，从代数方面看，导数是平均变化率的极限，导数为正，说明在很小的区间上平均变化率为正，任意的有限区间可以分成很多小区间，每个小区间上的平均变化率为正，合起来的平均变化率也为正，因而递增．新课讲授

例1利用导数研究二次函数的f(x)=ax2＋bx＋c单调性．典例分析

例2求下列函数的单调区间．典例分析

典例分析例2求下列函数的单调区间．

利用导数确定函数的单调性步骤：（1）确定函数f(x)的定义域．（2）求出函数的导数f′(x)．（3）在定义域内解不等式f′(x)0，得函数单增区间；解不等式f′(x)0，得函数单减区间．注：如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．感悟提升根据上面例题总结利用导数求函数单调区间的方法步骤

(-∞，2)，(2，+∞).(0，+∞)，无单调递减区间.(-2，1)，(-∞，-2)，(1，+∞).学以致用