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《定积分的物理应用》

25.7.1变力沿直线作功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功。在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为

3例1由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F(单位：N)与弹簧的伸长量s(单位:cm)成正比，即F=ks(k是比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素dW=kxdx而弹簧拉伸6cm，从而

4例2直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？解建立坐标系如图所示。当圆柱体的高减少xcm时的压强为dxxyo40

5例3试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解建立坐标系如图。任取一小区间这薄层水的体积元素这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(kJ)设水的密度为一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,

6例4设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？解任取一小区间[x,x+dx]，则直线AB的方程为建立坐标系如图所示。xx+dxOA(0,10)yxB(15,0)这薄层水的体积元素为把这一部分水吸出所需做的功元素为

7作多少功?内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需例5有一半径为4米开口向上的半球形容器,容器解取坐标原点在球心,x轴垂直向下建立坐标系,Oxxx+dx

8例6半径为R的球沉入水中,球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出,需作多少功？相应于区间[x，x+dx]的球体中的薄片(球台)的体积约为当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，解建立坐标系如图所示。克服重力做功为OxR+xx水面x+dx由于球的比重与水相同，则这部分的球由x提升到水面不做功

95.7.2液体对薄板的侧压力压力=压强×受力面积=?gh×受力面积例7?的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。解建立坐标系如图.所论半圆的方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为小窄条上各点的压强窄条形所受的压力,即侧压力元素端面所受侧压力为

10例8有等腰梯形水闸,上底长10m,下底6m,高20m。试求当水面与上底相齐时,闸门一侧所受的水压力。解建立坐标系如图所示。直线AB的方程为xB(20,3)A(0,5)Oy闸门上对应于区间[x，x+dx]xx+dx侧压力元素为

11例9有等腰梯形水闸,上底长6m,下底2m,高10m。试求当水面位于上底下2m时,闸门所受的水压力。解建立坐标系如图所示。直线AB的方程为x2B(10,1)A(0,3)Oy闸门上对应于区间[x，x+dx]xx+dx侧压力元素为

12例10一底为10cm,高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离水面3cm时,试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立坐标系如图所示。直线AB的方程为xx+dxxB(9,5)A(3,0)Oy闸门上对应于区间[x，x+dx]侧压力元素为

13解：建立坐标系如图所示。椭圆的方程为侧压力元素为y设hb在y轴任取区间[y，y+dy]xbO-ba-ahyy+dy例11设某椭圆形水泥板沉入水中，椭圆的长轴平行于水面且离水面的距离为h,求水泥板所受的压力。

14一内容要点1定积分的概念被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限积分和

15注(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即

162定积分的性质

173积分上限函数及其导数

184微积分的基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)

195定积分的换元积分法6定积分的分部积分法

207广义积分

211.计算不定下列积分

2210）设，求11）设求

2312）设求13）当k为何值时，广义积分收敛？当k为何值时,广义积分取得最小值？

242.设为连续函数，且求3（1）若在上连续，证明（2）证明（3）证明

254.（1）证明其中连续，并求（2）证明（是连续函数），并计算

265.证明在上的最大值不超过（为正整数）6设且试证: