数值积分与微分.ppt

算法——龙贝格求积法参数说明：a双精度实型变量。积分下限。b双精度实型变量。积分上限。要求b＞a。eps双精度实型变量。积分精度要求。f双精度函数指针变量。指向计算被积函数值的函数。本函数返回一个双精度实型积分值。第30页,共38页，星期六，2024年，5月算法源程序第31页,共38页，星期六，2024年，5月高斯求积公式不失一般性，设，考虑下列求积公式我们将会看到，适当的选取求积节点可以使上述求积公式具有次代数精度，这种高精度的求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式的求积节点称为高斯点。第32页,共38页，星期六，2024年，5月高斯点的基本特性尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。设是求积公式中的高斯点，令则有如下结论：定理节点是高斯点的充分必要条件是多项式与一切次数的多项式正交，即成立第33页,共38页，星期六，2024年，5月寻找高斯点的途径第34页,共38页，星期六，2024年，5月勒让德多项式第35页,共38页，星期六，2024年，5月数值微分设已知在节点的函数值，利用所给定数据作次插值多项式，并取的值作为的近似值，这样建立的数值公式统称为插值型求导公式。应当指出，即使与处处相差不多，与在某些点仍然可能出入很大。一般的，我们只用它求取某个节点上的导数值，这时，我们才有某种意义下比较准确的余项公式来保证导数值的精度。第36页,共38页，星期六，2024年，5月等距插值结点处的数值导数公式第37页,共38页，星期六，2024年，5月等距插值结点处的数值导数公式第38页,共38页，星期六，2024年，5月3.*3.*数值积分与微分引言依据微积分基本定理,只要找到被积函数的原函数，，便有牛顿-莱伯尼兹公式由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数，而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。第2页,共38页，星期六，2024年，5月数值求积的基本思想依据积分中值定理，就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。第3页,共38页，星期六，2024年，5月代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。如果机械求积公式对均能准确成立，但对不准确，则称机械求积公式具有次代数精度。事实上，令求积公式对准确成立，即得可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。第4页,共38页，星期六，2024年，5月插值型的求积公式设已给在节点的函数值，作插值多项式其中