曲线的凸性与函数作图.ppt

.例曲线的下凸区间是上凸区间是拐点为提示:及;;第29页,共46页，星期六，2024年，5月有位于一直线的三个拐点.例求证曲线证明：第30页,共46页，星期六，2024年，5月令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.第31页,共46页，星期六，2024年，5月无渐近线.点M与某一直线L的距离趋于0,5.2曲线的渐近线定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时,则称直线L为曲线C的渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线或为“纵坐标差”第32页,共46页，星期六，2024年，5月1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线若则曲线有垂直渐近线例1.求曲线的渐近线.解:为水平渐近线;为垂直渐近线.第33页,共46页，星期六，2024年，5月2.斜渐近线斜渐近线若第34页,共46页，星期六，2024年，5月例2.求曲线的渐近线.解:所以有铅直渐近线及又因为曲线的斜渐近线.第35页,共46页，星期六，2024年，5月5.3函数图形的描绘步骤:1.确定函数的定义域,期性;2.求并求出及3.列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.确定某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点;并考察其对称性及周第36页,共46页，星期六，2024年，5月例1.描绘的图形.解:1)定义域为无对称性及周期性.2)3)(极大)(拐点）(极小)4)第37页,共46页，星期六，2024年，5月例2.描绘方程的图形.解:1)定义域为2)求关键点第38页,共46页，星期六，2024年，5月3)判别曲线形态(极大)(极小)4)求渐近线为铅直渐近线无定义第39页,共46页，星期六，2024年，5月又因即5)求特殊点为斜渐近线第40页,共46页，星期六，2024年，5月6）绘图(极大)(极小)斜渐近线铅直渐近线特殊点无定义第41页,共46页，星期六，2024年，5月例3.描绘函数的图形.解:1)定义域为图形对称于y轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大)(拐点)第42页,共46页，星期六，2024年，5月(极大)(拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线第43页,共46页，星期六，2024年，5月内容小结1.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点第44页,共46页，星期六，2024年，5月水平渐近线;垂直渐近线;内容小结2.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行3.函数图形的描绘第45页,共46页，星期六，2024年，5月备用题求笛卡儿叶形线的渐近线.解:令y=tx,代入原方程得曲线的参数方程:因所以笛卡儿叶形线有斜渐近线第46页,共46页，星期六，2024年，5月**运行时,点击“斜渐近线”,可显示斜渐近线公式,点击“按作图步骤进行”,可显示作图步骤.5.1曲线的凸性向上凸的向下凸的第2页,共46页，星期六，2024年，5月如何定义函数的这种特性呢？先看向上凸的。第3页,共46页，星期六，2024年，5月第4页,共46页，星期六，2024年，5月定义第5页,共46页，星期六，2024年，5月定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凸的;(2)若恒有则称图形是凹的.函数凸性的等价定义第6页,共46页，星期六，2024年，5月引理f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点，总有必要性即证即由的凸性易知上式成立充分性在I上任取两点上任取一点第7页,共46页，星期六，2024年，5月由必要性的推导逆过程，可证得故f为上的凸函数。注同理可证，f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点第8页,共46页，星期六，2024年，5月定理5.1设f(x)为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：证明：要证f(x)为I上的递增函数,I上两点及充分小的正数h，证明只需任取成立,由f(x)是可导函数，令时便可得结论.第9页,共46页，星期六，202