北京市海淀区2024-2025学年上学期高三期末练习数学.docxVIP

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2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷

本试卷共9页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，，则（）

A B.

C. D.

2.在的展开式中，的系数为（）

A. B. C. D.

3.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

4.抛物线的焦点为，点在上，则（）

A. B. C. D.

5.已知直线与圆交于两点，则（）

A. B. C. D.

6.已知等差数列的前项和为，，则（）

A. B. C. D.

7.已知椭圆的焦点在轴上，点，则（）

A.在外 B.的长轴长为

C.在内 D.的焦距为

8.设函数，则“”是“没有极值点”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（）

A.平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形

B.存在点，使得直线与平面垂直

C.平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等

D.点到平面的距离不超过

10.2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加.记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）.已知，，则最大时，的值为（）

（参考数据：，）

A. B. C. D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.双曲线的渐近线方程为__________．

12.已知向量，，则_________，的最小值为_________.

13.已知为等腰三角形，且，则_________.

14.已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.

15.已知曲线.给出下列四个结论：

①曲线关于直线对称；

②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；

③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；

④曲线所围成区域的面积大于.

其中，所有正确结论序号为_________.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.已知函数.

（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；

（2）若在区间上的最大值为，求的值.

17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.

（1）求证：是的中点；

（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.

条件①：平面平面；

条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：

原始成绩

8.75

8.25

8.25

6.75

6.75

6.5

6

5.5

5.25

4.25

3.75

3.25

排名

1

2

2

4

4

6

7

8

9

10

11

12

（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；

（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：

当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；

当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.

①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；

②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：

原始成绩

9.75

8

8

75

7.5

6

5.75

5.75

排名

1

2

2

4

4

6

7

7

原始成绩

5

4.75

4.5

4.5

425

4

3.75

3.5

排名

9

10

11

11

13

14

15

16

对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.

19.已知椭圆的左顶点为，离心率.

（1）求的标准方程；

（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为.当与不重合时，求证：.

20.已知函数.

（1）当时，求的定义域；

（2）若在区间上单调递减，求取值范围；

（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）

21.已知为各项均为整数的无穷递增数