专题11 排列组合与二项式定理(13类题型全归纳）（解析版）.docx

专题11排列组合与二项式定理

目录

TOC\o1-1\h\u题型01加法计数原理和乘法计数原理综合 1

题型02排队问题 4

题型03涂色问题 7

题型04分组分配问题 10

题型05二项展开式第项 13

题型06求指定项的二项式系数 14

题型07二项式系数和 16

题型08求指定项的系数 18

题型09由系数确定参数 20

题型10系数和 22

题型11系数最大（小）的项 23

题型12两个二项式乘积展开式的系数问题 26

题型13三项展开式的系数问题 28

题型01加法计数原理和乘法计数原理综合

【解题规律·提分快招】

1、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；

2、分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。

【典例1-1】（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（????）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】C

【知识点】分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题

【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.

【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，

所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，

故选：C.

【典例1-2】（2024·河南新乡·一模）如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位（每个小正方形的一条边长为一个单位），要走到B点，不同的走法共有种．

【答案】401

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理，结合组合计数问题列式计算得解.

【详解】如图，当路线经过点时，从到有1种，从到有种；

当路线经过点时，从到有种，从到有种；

当路线经过点时，从到有种，从到有种；

当路线经过点时，从到有种，从到有种；

当路线经过点时，从到有种，从到有1种，

所以不同的走法共有（种）.

故答案为：401

【点睛】方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.

【变式1-1】（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（????）．

A．26种 B．31种 C．36种 D．37种

【答案】D

【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题

【分析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，据此按集合中参与人数分3种情况讨论，再由加法原理求解即可．

【详解】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，既会划左桨又会划右桨的人，

据此分3种情况讨论：

①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；

②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；

③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，

则有种不同的选法.

故选：D．

【变式1-2】（2023·北京·模拟预测）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（????）种．

A．20 B．40 C．60 D．80

【答案】C

【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题、分组分配问题

【分析】利用分步乘法原理、排列组合数以及不均匀分组的方法进行求解.

【详解】第一步，先安排2名男生，有种排法；

第二步，安排5名女生：

第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有种分法，

第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有种分法，

所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有：种排法，

所以，总共有种分配方案.故A，B，D错误.

故选：C.

【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有