专题1三角函数与解三角形【讲】-2025年高考数学大题精做（题型破局）附答案解析.docx

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专题1三角函数与解三角形【大题精做*精讲】

考查角度

核心考向

考频

难易度

应用正弦定理、余弦定理解三角形

边角计算问题：2024年新课标Ⅰ卷，2023年新课标Ⅰ卷，2021年新高考I卷，2023年新课标Ⅱ卷

5年3考

（四张卷）

适中

存在性问题：2020年新高考I、II卷，

2021年新高考II卷

5年2考

（三张卷）

适中

面积问题：2024年新课标Ⅰ卷，2022年新高考II卷，2021年全国新高考II卷

5年3考

适中

周长问题：2024年新课标Ⅱ卷，2020全国Ⅱ卷

5年2考

适中

最值范围问题：2022年新高考I卷，2020全国Ⅱ卷

5年2考

适中

解三角形、三角函数的性质

综合性：2020全国Ⅱ卷，考查周长最值问题，2022年新高考全国I卷，考查边长代数式的最小值，既可以利用三角函数的有界性、“对号函数”性质，也可以利用基本不等式求解，体现了命题的综合性和方法选取的灵活性

5年2考

适中

【模版构建】

核心考向1???边角计算问题

【典例探究1】[2024·新课标Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求B；

（2）若的面积为，求c．

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）求角

，

已知三边之间的关系式，利用余弦定理求得由得根据得B

（2）求边

的面积为

思路一：已知两角，边c是待求边，利用正弦定理用c将a，b表示出来，再利用面积公式列方程求解．

思路二：B，C是特殊角，作出BC边上的高AD，利用列方程求解

【深度解析】（1）第1步：利用余弦定理求C

因为，所以由余弦定理有，（2分）

因为，所以．（3分）

第2步：代入已知等式求B

因为，所以．因为，所以．（6分）

（2）方法一第1步：利用三角形内角和定理求A

由（1）知，，所以．（8分）

第2步：利用正弦定理用c表示a，b

，

【速解技巧】掌握并识记一些常见的三角函数值，如，等，可以提升解题速度

由正弦定理有，从而，．（10分）

第3步：利用三角形面积公式，求c

所以，解得．（13分）

方法二第1步：根据已知角作出图形，作BC边上的高AD，用c表示BD，AD，CD

由（1）知，．如图，作出，过A作BC边上的垂线，垂足为D，则，．（10分）

第2步：利用三角形面积公式“底×高”求c

因为的面积为，所以，解得．（13分）

【高分技法】必备知识正、余弦定理及其变形的应用技法

在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为的外接圆半径．

定理

正弦定理（已知两角一边或两边及其中一边对角）

余弦定理（已知三边或两边及其夹角）

内容

变式：

，

，

常见变形

（1）边化角：，，

（2）角化边：，，

（3）

求角或角化边：

，

，

定理整合

正、余弦整合定理：在中，．主要用于求值，如

三角形的面积公式

，其中R，r分别为外接圆、内切圆半径，p为周长的一半

必记结论解三角形中的常用二级结论[链接变式2（2）]

1

射影定理

在中，，，

2

角平分线定理

在中，若AD是的平分线，点D在BC上，则有

3

中线定理

在中，AD是BC边上的中线，则

4

三角恒等式

在斜中，

5

两次余弦法

在中，点D在边BC上，则有，所以，即

【典例探究2】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（1）求B．

（2）若点D在线段AC上，且，求．

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）求角

由正弦定理角化边→结合余弦定理求角B

（2）求边的比值

利用图形中的向量关系以及余弦定理得关于a，c的等量关系，化简得

【深度解析】

（1）因为，所以，

由正弦定理可得，整理得（【会观察】这是余弦定理的结构特征），（2分）

由余弦定理可得，（4分）

因为，所以．（5分）

（2）如图，因为，所以，

可得（【会思考】BD，BA，BC是同一顶点出发的三条线段．如何建立联系？考虑向量的工具作用，不如利用向量法．用一组基底表示），（7分）

则，即，（9分）

整理得，（10分）

由余弦定理可得，则（【解题技巧】通过对某一条边或某一个角在不同图形中“算两次”我等量关系是解三角形问题中常用的方法，两次余弦法也是“算两次”的体现之一），（12分）

即，所以．（13分）

核心考向2??存在性问题

【典例探究3】（2021年全国新高考II卷数学试题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）求面积

，，

已知三边之间的关系式，正弦定理解方程组，求a，b，c;余弦定理求cossinC，