专题2　数列【讲】-2025年高考数学大题精做（题型破局）附答案解析.docx

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专题2数列【大题精做*精讲】

考查角度

核心考向

考频

难易度

等差数列

求和问题：2021年新高考I卷，2023年新课标Ⅰ卷

5年2考

适中

求和与不等式证明问题：2022年新高考I卷，2023年新课标Ⅱ卷

5年2考

适中

等差数列、最值问题：2021年新高考II卷

5年1考

适中

等比数列

基本问题：2020全国Ⅱ卷，2020年新高考Ⅰ卷

5年1考

（两张卷）

适中

等差、等比数列的综合问题

综合性：2022年新高考II卷，考查两个数列中“项”的关系，并求两数列指定关系下，集合中元素的个数，体现了命题的综合性和方法选取的灵活性

5年1考

适中

【模版构建】

1.求和问题

2.数列的综合问题

核心考向1等差数列求和问题

【典例探究1】（2021年全国新高考I卷）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）求，，通项公式

，，

最优解：根据为偶数，有

可得，求得

（2）求前20项和

，

的通项公式

思路一：奇偶分类讨论．

思路二：分组求和

【深度解析】

（1）[方法一]【最优解】：

显然为偶数，则，

所以，即，且，

所以是以2为首项，3为公差的等差数列，

于是．

[方法二]：奇偶分类讨论

由题意知，所以．

由（为奇数）及（为偶数）可知，

数列从第一项起，

若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，

若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．

所以，则．

[方法三]：累加法

由题意知数列满足．

所以，

，

则．

所以，数列的通项公式．

（2）[方法一]：奇偶分类讨论

．

[方法二]：分组求和

由题意知数列满足，

所以．

所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；

同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．

从而数列的前20项和为：

．

【高分技法】

必备知识如果数列的奇数项、偶数项构成等差或等比数列，则求其前n项和时可以使用分组求和方法，使具有相同结构的部分分别求和，然后将结果相加、化简即可

高分技法

数列求和必记4大技法结论

等差数列求和公式

①；②；③（其中，）

等比数列求和公式

①；②（，）；③（，）

经典数列求和公式

平方和公式：；

立方和公式：；

组合数求和公式：

9个常见裂项形式

①；

②（k为常数，）；

③（k为常数，）；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧，

⑨（）

【典例探究2】（24-25高三上·黑龙江鸡西·阶段练习）已知数列的首项为，且满足.

(1)证明：数列为等差数列；

(2)求数列的前项和为；

(3)求数列的前项和.

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）证明等差数列

，且满足.

递推数列变形+等差数列定义→证结

（2）求和

由（1）得

公式法求等差数列前项和，得

（3）求和

由（2）得

讨论n的奇数、偶数，分别求和

【深度解析】

（1）因为，，

若，则，与矛盾，

所以，所以，

所以，因为，所以，

所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列.

（2）由（1）知，

数列的前项和为.

（3）因为，

设数列的前n项和为，

当n为偶数时，，

因为，

所以，

当为奇数时，为偶数.

，

所以.

核心考向2等差数列求和与不等式证明问题

【典例探究3】（2023年新课标全国Ⅱ卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．

(1)求的通项公式；

(2)证明：当时，．

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

求的通项公式

，，．

已知是等差数列，通过布列方程组，可得其通项公式；应用公式求等差数列的和，的通项公式是分段的形式，需要分n为奇数和n为偶数两类求和

证明时，

【深度解析】

（1）设等差数列的公差为，而，

则，

于是，解得，，

所以数列的通项公式是.

（2）方法1：由（1）知，，，

当为偶数时，，

，

当时，，因此，

当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

方法2：由（1）知，，，

当为偶数时，，

当时，，因此，

当为奇数时，若，则

，显然满足上式，因此当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

【典例探究4】已知数列的前n项和为，且，

（1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式．

（2）证明．

【思维建模】

设问

已知量

模型应用

（1）证明等比数列、求通项

结合分段数列的通项公式求→利用等比数列的定义证明→利用公式法求

（2）证明不等式成立

证明

将用的前n项和表示→重新分组求和→作差构造新数列→利用定义判断数列的单调性→得证

【深度解析】

（1）由题意可知（【理思路】抓住等比数列的定义，根据“相邻两项之商为非零常数”将分子、分母往相同的项去凑，