向量组间的线性关系.ppt

（3）任一m元向量都可由m元单位向量组+线性表示，即+2、线性组合其中至少有一个向量是其余n－1个向量的线性组合。线性相关证明=：线性相关，不全为0的数则存在一组使不妨设，则即是的线性组合定理4组合，即存在一组数不全为0，使由于线性相关.则不妨设是其余向量的线性=第二节一、线性相关与线性无关的概念向量的线性相关性二、向量组的线性相关性的判别三、线性组合与线性表示第三章一、线性相关与线性无关的概念一组不全为0的数设为n元向量组，如果存在，使成立，则称向量组线性相关。否则称线性无。关定义1若线性无关，则对任意不全为0的数，都有即当且仅当时，式才成立。线性相关。例1即例2当向量组含两个非零向量时，设，线性相关与对应分量成正比与即与的对应分量成比例证明线性相关或与或例3对应分量不成比例，线性无关。对应分量成比例，线性相关。几何上说向量共线。求证含有零向量的向量组必线性相关。例4则此向量组必定线性相关。证明设向量组中取数必有线性相关.线性相关即如果部分组线性相关，则整体组也线性相关。定理1证明线性相关，因为为0的数使成立，因此有其中不全为零。线性相关。则存在一组不全线性无关线性无关.即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。利用定理1，用反证法。即：部分相关，整体相关！整体无关，部分无关！定理2下面分别对数字表示的具体向量组的线性相关性和用字母表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。二、向量组的线性相关性的判别1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知解设有数使得例5判别下列向量组的线性相关性即有得同解方程组01得同解方程组05由04（k为任意实数）02方程组的解03令06得07此向量组线性相关。小结首先设有数使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将代入得齐次线性方程组。方程组有非零解，有则称向量组线性相关。方程组只有零解，则称向量组线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。定理3有非零解例6线性相关秩判断，，，，的线性相关性.（无关）（只有零解））（秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。解线性相关.例7判断下列向量组的线性相关性解线性无关.解线性相关.当m=n时，即向量维数=向量个数时,推论2设m元向量组中含有n个向量,当nm时，此向量组必定线性相关。推论1线性相关（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即例8判别下列向量组的线性相关性含有零向量的向量组必线性相关4个3维向量必线性相关4个4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别。二、向量组的线性相关性的判别（续）对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别这种判别一般用定义法。设向量组考虑方程组只有零解，试证向量组整理得即证明一：例9也线性无关。因为向量组线性无关，所以必有从而线性无关。线性无关，证明二:从而R（B）=R（A），而向量组线性无关，所以R（A）=3R（B）=3可知向量组也线性无关。例10证明已知证明线性无关，线性相关.设存在数已知只有线性无关，使得即故向量组线性相关。不全为零，三、线性组合与线性表示为组合系数.称设有m维向量组如果存在一组数则称是向量组的线性组合定义2线性表示。称可由若存在一组数使得1、线性表示观察四个向量之间的关系有例11因为壹贰中每个向量都可由向量组本身叁向量组肆线性表示，伍零向量可由任一组向量线性表示。