2024-2025学年上海南洋模范高三上学期数学期中试卷及答案（2024.10）.docx

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南洋模范2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.10

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．设，若为纯虚数（为虚数单位），则________．

2．已知集合，，若，，则________．

3．已知，________．

4．已知某圆锥的高为8，体积为，则该圆锥的侧面积为________．

5．中国古代数学著作主要有《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《四元玉鉴》《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为________．

6．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到班培训，低于130分的人到班培训，如果用分层抽样的方法从到班的人和到班的人中共选取5人，则5人中到班的有________人．

7．在中，，，的角平分线，则________．

8．当点到直线的距离最大时，此时直线的方程为________．

9．定义在上的函数满足：，，则________．

10．小明在街道散步时听见呼救声，发现道旁的湖中有落水者，准备立即施救．如图所示，小明位于人行道上的点，落水者位于单位长度为．已知小明小跑的速度为，游泳速度为，则他到达落水者位置所用的最短时间为________．

11．已知，，其中、正实数．若，则的最大值为________．

12．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论：

①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；

②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是（0，1）；

③若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”：

④若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”；

其中所有正确结论的序号是________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．已知，则下列各式一定成立的是（）

A． B． C． D．

14．已知平面向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

15．已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前9项和为（）

A．9 B．18 C．26 D．34

16．已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）．

A． BC． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在棱长为2的正方体中，为的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求三棱锥的体积．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知，，设．

（1），求函数的值域．

（2）若，且，求的值．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满8分）

茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关．经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳．东雅中学利用课余时间开设了活动探究课（中国茶文化），某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：

时间

0

1

2

3

4

5

水温

100

91

82.9

78.37

72.53

67.27

设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：

①；

②；

③．

（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；

（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）：

（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分）

已知双曲线的中心为坐标原点，，是的两个焦点．其中左焦点为，离心率为．

（1）求的方程；

（2）双曲线上存在一点，使得，求三角形的面积；

（3）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于点．证明：点在定直线上．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3