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关注本质与素养，探究结构及导向

［摘要］教学二次函数综合问题时，教师应引导学生关注问题的本质，挖掘问题考查的核心素养，围绕核心点探索.研究者以一道二次函数综合题为例，开展解题与教学探究.

［关键词］本质；素养；二次函数；构建

二次函数是初中数学的核心内容，涉及众多的重难点知识，中考考查时常从综合视角进行，对学生的思维要求较高.教学时，教师需要注意两点：一是注意解析命题构建，把握问题本质；二是关注核心素养，提升学生综合能力.下面以一道二次函数综合题为例，开展探究解析.

从实例探究说起

二次函数问题探究教学中，笔者建议教师选用代表性问题，不宜过偏过怪.另外，该类问题常分为多个小问，建议选用条件独立且相互关联的问题.下面笔者选用一道模考题，逐步探究解析.

1.问题呈现

问题：抛物线y=ax2+b经过点A（4，0），B（0，-4），直线EC过E（4，-1），C（0，-3），点P是抛物线上点A，B间的动点（不含端点A，B），过P作PD⊥x轴于点D，连接PC，PE.

（1）求抛物线与直线CE的解析式；

（2）求证：PC+PD为定值；

（3）若△PEC的面积为1，求满足条件的点P的坐标.

2.思路分析

这是一道典型的二次函数综合题，题设三问，涉及抛物线与三角形等知识内容，可分步解析各小问，逐步构建思路.

第一步：待定系数，求解析式

第（1）问为基础问题，求解抛物线与直线CE的解析式，可采用待定系数法.将A（4，0），B（0，-4）的坐标代入y=ax2+b中，可得16a+b=0，

b=-4，解得

a=，

b=-4，所以抛物线的解析式为y=x2-4.

再设直线CE为y=mx+n，将点E（4，-1），C（0，-3）的坐标代入y=mx+n中，可得4m+n=-1，

n=-3，解得

m=，

n=-3，所以直线CE的解析式是y=x-3.

第二步：设定参数，求解定值

第（2）问是关于线段和定值的证明讨论，属于与线段相关的定值问题，其中点P为动点，位置不确定，可以设定点位置参数，再构建线段和，最终讨论证明.具体求解时，可结合问题条件绘制图形，合理作图构建模型.

证明：设点Pt，

t2-4，0t4，过点P作PF⊥y轴于点F，如图1所示.

则PF=t，FC=

t2-4+3=

t2-1，PD=4-t2.在Rt△PFC中，由勾股定理得PC===t2+1，所以PC+PD=

t2+1+

4-t2=5为定值.

第三步：分类讨论，面积解析

第（3）问是关于三角形面积问题，设定面积值求解点坐标.主要思路是构建面积模型，转化为与点坐标参数相关的方程，再推导点坐标.解析时我们需要关注点G和P的位置关系，分情形讨论.

情形1：如图2-（a），当点G在点P上方时.

构建△PEC的面积，则有S=×4×

x-3-

x2-4=-·（x-1）2+.因为S=1，则-（x-1）2+=1，解得x=1+，x=1-（负根舍去），所以y=（1+）2-4=-3，所以此时满足题意的点P的坐标为

1+，

-3.

情形2：如图2-（b），当点G在点P下方时.

构建△PEC的面积，则有S=×4×

x2-4-

x-3=·（x-1）2-，已知S=1，则（x-1）2-=1，解得x=1+，x=1-（负根舍去），所以y=×（1+）2-4=-2，所以此时满足题意的点P的坐标为

1+，

-2.

综上可知，满足题意的点P有

1+，

-3，

1+

，-2.

3.另解探究

对于其中的第（3）问，还可以采用不同的方法，提取其中的相似模型，转化条件，无须分类讨论，直接确定点P的位置.

如图3，分别过点P，E作PF⊥CE，EH⊥y轴，垂足分别为F，H，PD交CE于点G.

在Rt△EHC中，EH=4，HC=2，则由勾股定理可得CE==2.S=1，则CE·PF=1，可解得PF=.

因为PF⊥CE，PG⊥EH，可证△PFG∽△CHE，由相似性质可得=，代入线段长可解得PG=，分析可知过点P与直线CE平行，且与直线CE距离为的直线有两条：y=x-或y=x-.

依题意得

y=x2-4，

y=

x-，解得x=1±（负根舍去），所以x=1+，y=-2，于是可求得此时的点P为

1+，

-2；

y=x2-4，

y=

x-，可解得x=1±（负根舍去），所以x=1+，y=-3，于是可求得此时的点P为

1+，

-3.

综上可知，满足题意的点P有

1+，

-3，

1+

，-2.

命题构建教学探究

上述对二次函数综合题的解析思路进行了具体分析，教学中教师还需引导学生探究命题构建，把握解题方法，探究问题本质，让学生深入理解问题.

整体上来看，本题目为二次函数综合题，融合了线段、三角形等几何内容，是函数与几何的综合，同时渗透考查数形结合、分类讨论等思想方法，具有较高的研究价值.题设三问，设置了难度梯度.其中后两问为核