专题08 平面向量与复数(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（解析版）.docx

专题08平面向量与复数

目录

TOC\o1-1\h\u题型01用基底表示向量 1

题型02平面向量共线定理推论 4

题型03向量数量积（几何意义法） 7

题型04向量数量积（自主建系法） 11

题型05向量数量积（极化恒等式法） 15

题型06向量投影（投影向量） 19

题型07向量模（含最值范围） 22

题型08向量夹角（含最值范围） 24

题型09复数的四则运算 27

题型01用基底表示向量

【解题规律·提分快招】

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.

【典例1-1】（2023·北京丰台·二模）如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】

.

故选：D

【典例1-2】（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（????）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【知识点】平面向量基本定理的应用

【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．

【详解】设，因为，所以，

又是的平分线，所以，，

，

又，所以，

所以．

故选：B．

【变式1-1】（2023·北京西城·一模）已知为所在平面内一点，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.

【详解】由题意作出图形,如图,则

，

故选：A.

【变式1-2】（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在中，是的中点．若，则（????）

??

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【详解】,

所以，

故选：D

【变式1-3】（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，点是边的中点．记，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】用基底表示向量

【分析】利用向量的线性运算直接求解即可.

【详解】如图，因为为边的中点，

??

所以，

所以，

所以.

故选：B.

题型02平面向量共线定理推论

【解题规律·提分快招】

（，为实数），若，，三点共线

【典例1-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（???）

A． B． C． D．1

【答案】A

【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论

【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可.

【详解】由，得，且，

而三点共线，则，即，

所以，

所以.

故选：A.

【典例1-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则.

【答案】3

【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论

【分析】先由向量的线性运算求得，再由G，D，E三点共线得，即可求得.

【详解】

如图，设F为BC的中点，则，又，，

则，又G，D，E三点共线，∴，即.

故答案为：3.

【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（???）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【知识点】平面向量共线定理的推论

【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可.

【详解】，即，

因为点是直线上相异的三点，则点三点共线，

则，解得.

故选：A.

【变式1-2】（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】向量与几何最值、平面向量共线定理的推论、求投影向量

【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．

【详解】设，（且），

则（且），

则在线段上，如图所示，

??

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最小值为；

则在上的投影向量的长度的取值范围是．

故选：B.

【变式1-3】（2025高三·北京·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是．

【答案】

【知识点】向量加法的法则、向量数乘的有关计算、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论

【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再