专题08 平面向量与复数(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（原卷版）.docx

专题08平面向量与复数

目录

TOC\o1-1\h\u题型01用基底表示向量 1

题型02平面向量共线定理推论 2

题型03向量数量积（几何意义法） 3

题型04向量数量积（自主建系法） 4

题型05向量数量积（极化恒等式法） 5

题型06向量投影（投影向量） 6

题型07向量模（含最值范围） 8

题型08向量夹角（含最值范围） 9

题型09复数的四则运算 9

题型01用基底表示向量

【解题规律·提分快招】

如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.

【典例1-1】（2023·北京丰台·二模）如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2023·北京海淀·一模）在中，，的平分线交BC于点D．若，则（????）

A． B． C．2 D．3

【变式1-1】（2023·北京西城·一模）已知为所在平面内一点，，则（????）

A． B．

C． D．

【变式1-2】（23-24高三上·北京·阶段练习）如图，在中，是的中点．若，则（????）

??

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，点是边的中点．记，，则（????）

A． B． C． D．

题型02平面向量共线定理推论

【解题规律·提分快招】

（，为实数），若，，三点共线

【典例1-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（???）

A． B． C． D．1

【典例1-2】（2023高三·全国·专题练习）已知的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若，，则.

【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（???）

A． B．1 C． D．

【变式1-2】（2024·天津河北·二模）是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2025高三·北京·专题练习）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是．

题型03向量数量积（几何意义法）

【解题规律·提分快招】

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，

【典例1-1】（2024·北京朝阳·一模）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（????）

??

A．26 B．13 C．10 D．5

【典例1-2】（2024·北京门头沟·一模）已知是边长为的正△边上的动点，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-1】（23-24高三下·北京西城·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（????）

??

A．10 B．13 C．18 D．26

【变式1-2】（23-24高一下·北京海淀·期中）如图，已知四边形ABCD为直角梯形，，，AB=1，AD=3，，设点P为直角梯形ABCD内一点（不包含边界），则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在年月日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为，点满足，则；若点是其内部一点（包含边界），则的最大值是．

题型04向量数量积（自主建系法）

【解题规律·提分快招】

根据图形建立适当的坐标系，

用坐标表示点

建立函数关系

根据函数关系求值

【典例1-1】（2024·北京·三模）已知点在边长为2的正八边形的边上，点在边上，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时，；当时，取得最大值．

【变式1-1】（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2024·北京东城·一模）已知正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2024·北京通州·一模）在矩形ABCD中，，，点P在AB边上，则向量在向量上的投影向量的长度是，的最大值是．

题型05向量数量积（极化