专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系(10类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（解析版）.docx

专题09直线与圆、圆与圆的位置关系

目录

TOC\o1-1\h\u题型01两条直线的平行与垂直关系 1

题型02点到直线距离公式应用 3

题型03圆的方程 6

题型04圆上点到定点（定直线）距离最值问题 9

题型05直线与圆的位置关系 12

题型06圆的切线 15

题型07圆的弦长 18

题型08相交圆的公共弦长 21

题型09两圆的公共弦方程 23

题型10圆的公切线问题 26

题型01两条直线的平行与垂直关系

【解题规律·提分快招】

直线方程

与

【典例1-1】（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线与直线，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【知识点】已知直线垂直求参数、既不充分也不必要条件

【分析】由，计算得或，即可判断.

【详解】因为，

所以，

解得或，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

【典例1-2】（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：和直线：，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件、已知直线平行求参数

【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件.

【详解】若，则，解得或，

若，则直线：、直线：，可知；

若，则直线：、直线：，可知；

综上所述：或.

因为是的真子集，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【变式1-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【知识点】已知直线垂直求参数

【分析】由两直线垂直的充要条件结合且即可求解.

【详解】由题意可知若，则，

又因为即，故，即.

故选：B.

【变式1-2】（23-24高二上·宁夏银川·期中）“”是“直线：与直线：垂直”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】充要条件的证明、已知直线垂直求参数

【分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为直线：与直线：垂直，

所以，解得，

所以“”是“直线：与直线：垂直”的充要条件.

故选：C

题型02点到直线距离公式应用

【解题规律·提分快招】

点到直线的距离公式

平面上任意一点到直线：的距离.

【典例1-1】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，则当变化时，的最大值与最小值之差为（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】D

【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值

【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得.

【详解】由直线整理得，可知直线经过定点，

而由知，点可看成圆上的动点，

于是求点到直线的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.

??

如图知当直线与圆相交时，到直线的距离最小值为，

要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，

又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）

此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.

故选：D.

【典例1-2】（23-24高三下·北京·开学考试）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）

【分析】由条件可得点是圆上的一点，因此点到直线的距离的最大值为,只需用点到直线的距离求出的最大值即可.

【详解】设点，

因为,

所以,

所以点是在以为圆心，半径为1的圆上，

因为点到直线的距离,

当且仅当时等号成立，

所以点到直线的距离的最大值为.

故选：C.

【变式1-1】（23-24高二上·福建三明·期末）已知，，若直线上存在点P使得，则实数k的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数

【分析】根据题意分析可得直线与圆有公共点（公共点不能是、），结合直线与圆的位置关系分析运算即可.

【详解】因为直线上存在点使得，

所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、，

由，为直径的圆，可得圆心为,半径为，即圆,

要使得，只需直线与圆有