专题10 圆锥曲线综合问题（定义 焦点三角形 离心率 渐近线 中点弦）(9类题型全归纳）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（北京专用）（解析版）.docx

专题10圆锥曲线综合问题（定义+焦点三角形+离心率+渐近线+中点弦）

目录

TOC\o1-1\h\u题型01根据定义求圆锥曲线方程 1

题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值 4

题型03椭圆（双曲线）焦点三角形问题 8

题型04椭圆（双曲线）离心率问题 12

题型05双曲线渐近线问题 17

题型06根据曲线表示椭圆（双曲线）求参数 19

题型07抛物线定义的应用 22

题型08抛物线焦点弦问题 25

题型09圆锥曲线中点弦问题 27

题型01根据定义求圆锥曲线方程

【解题规律·提分快招】

1、椭圆定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，

这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

椭圆定义定义的集合语言表述

集合.

2、双曲线的定义：一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

双曲线定义集合语言表达式

双曲线就是下列点的集合:.

3抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离)

【典例1-1】（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】利用椭圆定义求方程、轨迹问题——椭圆

【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求．

【详解】连接，

圆的圆心坐标为，半径为4．

因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以，

所以，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，

所以，所以点的轨迹方程为．

故选：A．

【典例1-2】（24-25高三上·北京顺义·期末）已知点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【知识点】利用双曲线定义求方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围

【分析】先求出动点的轨迹方程（双曲线的右支），再根据渐近线方程可求参数的范围.

【详解】因为，故在双曲线的右支上，

而半焦距，实半轴长为，

故双曲线右支的方程为：，故渐近线方程为，

而直线与双曲线右支有公共点，故，

故选：D.

【变式1-1】（24-25高二上·北京·阶段练习）平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【知识点】利用椭圆定义求方程

【分析】利用椭圆的定义求解即可.

【详解】由题意，点Px,y到两个定点的距离之和等于，

根据椭圆的定义可知，点Px,y的轨迹为焦点为的椭圆，

且，，即，则，

所以动点的轨迹方程为.

故选：A.

【变式1-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹

【分析】根据抛物线的定义即可得解.

【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大，

所以动点到定点的距离等于到的距离，

所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

所以动点的轨迹方程是.

故选：B.

【变式1-3】（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为.

【答案】或

【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程

【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案.

【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，

当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，

设抛物线方程为，则，即，所以；

当时，满足条件.

综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，.

故答案为：或

题型02椭圆（双曲线）上的点到焦点与定点距离和差最值

【解题规律·提分快招】

利用椭圆（双曲线）定义求距离和差的最值的两种方法：

（1）抓住与之和（差）为定值，可联系到利用基本不等式求的最值；

（2）利用定义或转化或变形，借助三角形性质求最值

【典例1-1】（24-25高一上·广东·阶段练习）是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（????）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、利用定义求双曲线中线段和、差的最值

【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确