专题15 导数与函数的极值、最值（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳） 2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理》（新高考专用）.pdf

专题15导数与函数的极值、最值

目

01思维导图

02知识清单

03核心素养分析

04方法归纳

1.函数的极值

一般地，设函数f(x)在x处可导，且f′(x)＝0.

00

(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)

的极大值点.

(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)0，那么此时x0是f(x)

的极小值点.

(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.

(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

2.函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在[a，b]上的最值

如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间

端点a或b，要么是极值点.

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

值.

温馨提示：

1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最

值.

2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

3.不等式恒成立

(1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是

对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值

或一段内的函数值不满足题意即可.

双变量恒成立

含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有：

(1)∀x∈M，∃x∈N，f(x)g(x)⇔f(x)g(x).

1212minmin

(2)∀x∈M，∀x∈N，f(x)g(x)⇔f(x)g(x).

1212minmax

(3)∃x∈M，∃x∈N，f(x)g(x)⇔f(x)g(x).

1212maxmin

(4)∃x∈M，∀x∈N，f(x)g(x)⇔f(x)g(x).

1212maxmax

4.利用导数研究函数的零点

利用导数求函数的零点常用方法

(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点.

导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤

(1)求函数f(x)的导数f′(x)；

(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；

(3)求f(x)在给定区间上的端点值；

(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；

(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．

一、利用导数求函数的极值问题

命题点1根据函数图象判断极值

1fxf¢xfx

例函数