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湖南省长郡中学2022届高三高考前保温卷(一)数学试题(解析版).docx

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2022届高三数学保温卷1

一、单选题

1.已知集合,则()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集的定义和运算直接得出结果.

详解】由题意得,

,又,

所以.

故选:C.

2.已知复数z满足(i为虚数单位),则复数z是()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由复数的除法运算化简复数即可得出答案.

【详解】

故选:C.

3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为()

A. B. C.1 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先根据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程,再利用点到直线的距离公式可求得结果

【详解】由,得,渐近线方程为,

由双曲线的对称性,不妨取双曲线的右焦点,一条渐近线方程为,

则焦点到渐近线的距离为

故选:C

4.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,….我国宋元时期数学家朱世杰在(四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球,…).若一“落一形”三角锥垛有10层,则该堆垛总共球的个数为()

A.55 B.220 C.285 D.385

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“三角形数”的特征可得通项公式,计算其前项和,再将10代入即可得结果.

【详解】“三角形数”的通项公式,

前项和公式:,

当时,.

故选:B.

【点睛】本题主要考查以数学文化为背景,考查数列知识及运算能力,求出是解题的关键,属于中档题.

5.已知,为平面的单位向量,且其夹角为,若,则的最大值为()

A B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的模的运算将原式化解,再利用基本不等式可得的最大值.

【详解】在等式两边平方得,,

所以,

得,当时,满足题意,

故选:B

二、多选题

6.将函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是()

A.的最小正周期为 B.

C. D.的图象关于点对称

【答案】CD

【解析】

【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式,可判断B选项;利用正弦型函数的周期公式可判断A选项;利用诱导公式可判断C选项;利用正弦型函数的对称性可判断D选项.

【详解】将图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,

得到函数的图象,

再把所得图象向右平移个单位长度,得到的图象,

函数最小正周期,AB选项错误;

,C项正确;

,故的图象关于点对称,D项正确.

故选:CD.

7.已知正四棱柱底面边为1,侧棱长为,是的中点,

则()

A.任意,

B.存在,直线与直线相交

C.平面与底面交线长为定值

D.当时,三棱锥外接球表面积为

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,由题意可得平面,从而可得,即可判断;

对于B,根据异面直线的定义可得;

对于C,根据题意找出交线,然后求出交线长即可;

对于D,根据外接球与正四棱柱的位置关系,找出球心,进而求出半径,即可得出表面积.

【详解】解:对于A,,,,,平面,

平面,平面,,故正确;

对于B,因为平面,平面,

所以平面,

与异面,故不相交,故错误;

对于C,延长,交于点,连接交于,为中点,

所以,

所以,

所以,

平面平面,

平面与底面交线为,

其中为中点,所以,故正确对;

对于D,,是直角三角形,外接圆是以为直径的圆,

圆心设为,半径,

取中点,则平面,,

所以,

所以,

,故错误.

故选:.

三、填空题

8.函数在点处的切线的方程为___________.

【答案】

【解析】

【分析】求出,求导,得到即切线斜率,用点斜式求出切线方程,化为一般式即可.

【详解】,,,

所以在点处的切线的方程为:,

整理得:

故答案为:

9.用0,1,2,3组成无重复数字的三位数,这个三位数是偶数的概率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】结合排列组合及古典概型,对个位分类讨论即可

【详解】组成无重复数字的三位数共有个,当0做个位时有个,当2做个位时有个,故三位数是偶数的概率等于,

故答案为:

四、解答题

10.锐角中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,.

(1)求证:;

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;

(2).

【解析】

【分析】(1)根据给定条件利用正弦定理边化角,借助和差角正弦公式变形,再用三角函数性质推理作答.

(2)利用正弦定理边化角,由(1)及余弦函数的性质计算作答.

【小问1详解】

在中,由正弦定理及得:,

即,

因是锐角三角形,即,有,而正弦函数在上递增,

于是得,即,

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