2024-2025学年高二数学试题（人教A版2019）13空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）.docx

1.3空间向量及其运算的坐标表示

目录

TOC\o12\h\z\u【题型归纳】 2

题型一：空间向量的坐标表示 2

题型二：空间向量的直角坐标运算 3

题型三：空间向量的共线与共面 3

题型四：空间向量模长坐标表示 4

题型五：空间向量平行坐标表示 7

题型六：空间向量垂直坐标表示 8

题型七：空间向量夹角坐标表示 11

【重难点集训】 14

【高考真题】 26

【题型归纳】

题型一：空间向量的坐标表示

1．（2024·高二·北京房山·期中）已知，则向量的坐标是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以，

故选：B

2．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）向量，，，中，共面的三个向量是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A：若共面，则，即，

即，显然不存在满足题意，故不共面；

同理，B，C中的三个向量也不共面；

D：若共面，则，即，

即，故存在满足题意，则共面.

故选：D.

3．（2024·高二·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，所以

故选：A

4．（2024·高二·天津西青·阶段练习）设点，，，若，则点的坐标为（????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设点B的坐标为，则，

∵，∴，解得，

故选：C．

题型二：空间向量的直角坐标运算

5．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则．

【答案】

【解析】因为，

所以.

故答案为：.

6．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为．

【答案】

【解析】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以．

故答案为:.

题型三：空间向量的共线与共面

7．（2024·高二·浙江丽水·期末）向量，，若与共线，则,．

【答案】.3.

【解析】分析：利用向量共线定理即可得出．

与共线，

∴存在实数使得：

，，

故答案为，.

8．（2024·高二·山东济宁·期末）若空间三点共线,则=;=

【答案】32

【解析】由题意得;,

依题意可得，则，解得,

故答案为：3；2

9．（2024·高二·北京丰台·期末）已知向量，，若与共线，则.

【答案】

【解析】向量，，若与共线，

则有，解得.

故答案为：

10．（2024·高二·广东·期末）已知向量与共线，则.

【答案】15

【解析】由，得，解得.

故答案为：15

11．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知点A?B?C?D的坐标分别为，且A，B，C，D四点共面，则.

【答案】3

【解析】由题意，A，B，C，D四点共面

故，使得

又

故

解得

故答案为：3

题型四：空间向量模长坐标表示

12．（2024·高二·广东佛山·期末）在棱长为的正方体中，点是的中点．设在上的投影向量为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A0,0,0、、、，

，，

由题意可知，，

所以，.

故选：C.

13．（2024·高二·全国·课后作业）已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（????）．

A．3 B．4

C．5 D．6

【答案】C

【解析】设，

则，

，

因为，

所以，即，

解得，

所以，

所以，

故选：C

14．（2024·高二·福建泉州·期末）若，，，，，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．6

【答案】C

【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.因为，，，，，

所以，则，即，

所以，

当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.

故选：C.

15．（2024·高二·全国·课后作业）若，且与的夹角的余弦值为，则()

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由可得，

因为与的夹角的余弦值为，

所以==，解得，

∴=，

故选：C．

题型五：空间向量平行坐标表示

16．（2024·高二·全国·课后作业）已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为（????）

A．1 B．3

C．1或3 D．以上答案都不正确

【答案】C

【解析】由题意知.

因为，，

所以的充要条件是，

所以，

显然符合题意，

当时，由，得，

代入，得.

综上，的值为1或3.

故选：C

17．（2024·高二·甘肃庆阳·期中）已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（????）

A．