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专题12导数的应用--函数的单调性问题5题型分类
一、单调性基础知识
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f¢(x)0，则y=f(x)为增函数；如果
f¢(x)0，则y=f(x)为减函数.
2、已知函数的单调性问题
①f(x)f¢(x)³00
若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于）；反之，要满足
f¢(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递增；
¢
②f(x)f(x)£00
若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于）；反之，要满足
f¢(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递减.
二、讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
1
（）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
2.
（）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分定号部分：已知恒正或恒负，
无需单独讨论的部分）；
30x
（）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于的根，并能做出导函数与轴位置关系图，则导函数正
负区间段已知，可直接得出结论）；
4
（）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
5
（）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
6
（）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.
7
（）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
1
（）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续
的区间）；
2.
（）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分定号部分：已知恒正或恒负，
无需单独讨论的部分）；
3
（）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
4
（）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
5
（）导数图象定区间；
（一）
利用导函数与原函数的关系确定原函数图象
f(x)Ûf¢(x)³00
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于，
¢¢
f(x)0Ûf(x)£00
只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于，只在离散点
成立，其余点满足f(x0)
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