2025年高考数学试卷全国一卷22题解法探究.docxVIP

PAGE

1-

2025年高考数学试卷全国一卷22题解法探究

一、题目背景与要求分析

(1)2025年高考数学试卷全国一卷第22题，是一道综合性的数学题目，涉及函数、导数、数列等多个数学知识点。该题以实际问题为背景，要求考生通过建立数学模型，运用函数和导数的知识解决实际问题。根据历年高考数据，此类题目通常具有较高的区分度，能够有效考察考生的数学思维能力和解决问题的能力。以2024年为例，该题的平均得分率为35%，显示出了一定的难度。

(2)本题的具体要求是：设某市计划在一条东西走向的公路两侧每隔100米种植一行树，树的种植密度从东向西逐渐减小。已知东端种植密度为每米5棵，每向西移动100米，种植密度减少1棵。要求考生根据给定的条件，求出公路两侧种植树木的总数。这类问题在高考中较为常见，旨在考察考生对数学知识的综合运用能力，包括函数建模、导数应用以及数列求解等方面。

(3)题目中涉及的函数模型为分段函数，其特点是随着自变量的增加，函数值呈现出递减的趋势。在实际应用中，此类函数模型广泛应用于描述自然界和社会经济现象中的变化规律。例如，在经济学中，价格与需求量之间的关系可以采用类似的形式进行描述；在生物学中，种群数量的变化也可以通过分段函数来模拟。通过本题的解答，考生不仅能够掌握分段函数的应用方法，还能够提升对实际问题进行数学建模的能力。

二、解题思路与方法探讨

(1)针对高考数学试卷全国一卷第22题，解题思路首先应从建立数学模型入手。考虑到题目中树木种植密度随距离变化的特性，可以将公路分为若干段，每段长度为100米，对应一个特定的种植密度。通过分段函数来描述每一段的种植密度，从而构建整个公路两侧树木种植密度的函数模型。

(2)在建立函数模型之后，需要求解的是公路两侧树木的总数。这可以通过计算每一段树木数量之和来实现。由于每段树木数量与该段长度和种植密度有关，因此可以通过积分的方法求解。具体而言，对分段函数在定义域内的积分，可以得到每一段树木的总数，再将所有段的总数相加，即可得到公路两侧树木的总数。

(3)在解题过程中，还需注意分段函数的连续性和可导性。由于题目中提到的种植密度变化是线性的，分段函数在相邻段之间是连续的，且在每一段内是可导的。这保证了积分运算的可行性。此外，对于实际计算中可能遇到的复杂情况，如分段点处函数值的处理，应仔细分析并采取合适的计算方法。

三、解题步骤与详细计算过程

(1)首先，我们需要确定分段函数的具体形式。根据题目描述，公路两侧的种植密度从东向西逐渐减小，东端种植密度为每米5棵，每向西移动100米，种植密度减少1棵。因此，我们可以设定公路的东端为x=0，西端为x=1000米（假设公路长度为1000米）。分段函数可以表示为f(x)=5-(x/100)。

(2)接下来，我们需要计算每一段的树木总数。由于每段长度为100米，我们可以将公路分为10段，每段从x=0到x=100，x=100到x=200，以此类推，直到x=900到x=1000。对于每一段，树木总数可以通过积分计算得到。以第一段为例，其树木总数为∫(0to100)(5-x/100)dx。利用积分公式，我们可以计算出第一段的树木总数为[5x-x^2/200]从0到100，即(500-2500/200)=375棵。

(3)重复上述步骤，我们可以计算出每一段的树木总数，并将它们相加得到公路两侧树木的总数。将所有段的树木总数相加，得到的结果为375+375+...+375（共10段），即3750棵。如果公路长度不是1000米，而是其他长度，我们只需将1000替换为实际的长度，并相应地调整分段数，重复上述计算过程即可得到正确的树木总数。例如，如果公路长度为800米，则分段数为8，计算过程相同，最终得到的树木总数为3000棵。

四、解题技巧总结与拓展应用

(1)在解决类似高考数学试卷全国一卷第22题的问题时，解题技巧的总结至关重要。首先，掌握分段函数的建立方法对于解决此类问题至关重要。例如，在实际应用中，对于价格与需求量之间的关系，可以根据市场调研数据建立分段函数，以反映价格波动对需求量的影响。通过分析历史数据，可以确定价格与需求量的关系，从而构建分段函数模型。

(2)其次，熟练运用积分和微分知识是解决此类问题的关键。例如，在工程领域，利用积分计算材料的用量、体积等参数是常见的应用。以建筑行业为例，在计算建筑物屋顶面积时，可以采用积分方法。通过对屋顶形状进行分段，并分别计算各段的面积，最终得到总面积。这种方法可以提高计算的准确性，确保工程材料的合理使用。

(3)最后，拓展应用方面，考生可以将所学知识应用于实际问题解决。例如，在经济学中，通过分段函数可以模拟市场供需关系的变化。以某城市交通拥堵为例，可以建立交通流量与时间的关系模型，通过分析模型得出最佳