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“三个理解”视域下的数学教学实践与思考

［摘要］“三个理解”是由章建跃博士所提出，该理念对当前的初中数学教学具有指导意义.研究者以“二次函数”的概念为例，基于“三个理解”的维度分别从“练习训练，初步建模”“温故知新，抽象概念”“整体视域，类比探究”“对比思考，深刻理解”“巩固训练，实际应用”“总结提炼，反思升华”等环节展开教学实践与思考.

［关键词］三个理解；理解学生；理解教学；理解数学

章建跃博士认为：一节好的数学课需要建立在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上，从而设计教学活动.其中，理解数学是教学的方向，理解学生可为课堂教学提供强有力的保障，理解教学又能让课堂充满生命力.最值得关注的是理解数学为教学的基本前提，教师基于理解数学的基础上，着眼于学生关键能力与个体品质的培养，可进一步发挥数学的教育价值，为拔高数学思维，发展理性精神，提升核心素养夯牢根基.本研究以“二次函数”的第一课时教学为例，分别从如下几方面展开教学实践与思考.

教学分析

学生在本节课之前已经掌握了一次函数与反比例函数等基本函数知识，二次函数与这两种函数有着高度相似性，即都以定义的形式表达，且和一元二次方程雷同.从知识的整体结构上来看，二次函数的逻辑结构和一次函数相似.观察知识的形成过程，可见这些函数都蕴含了特殊到一般、类比、数形结合、一般到特殊等常用的数学思想，这些思想方法是学生发展逻辑推理、抽象、直观想象、运算等素养的基础［1］.基于学生实际认知水平与知识特点来看，本节课具有较强的教育价值与意义.

教学过程简录

1.练习训练，初步建模

课堂伊始，教师用多媒体展示如下几个问题，鼓励学生独立思考问题并解决问题.

（1）李师傅准备用一根长16米的绳子围一个长方形，设长方形的长与宽分别为x米，y米，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（2）用长宽分别为x米，y米的绳子围成一个面积为16平方米的长方形，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（3）已知a为正方体的棱长，S为表面积，则S与a之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（4）圆的半径r分别与该圆的周长C与面积S之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（5）赵阿姨准备用总长度为16米的篱笆，围一个长为x米，面积为y平方米的长方形小型家禽饲养场，那么x，y之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

（6）某种矩形的镜面的长宽之比为2∶1，四周需要镶边框，假设镜面的宽度是x米，镜面的单价为每平方米120元，边框的单价为每米30元，加工费为每个成品45元.那么一面镜子的总金额y（元）和镜面的宽x（米）之间存在怎样的函数关系？请写出相应的表达式.

设计意图以上6个问题均与学生的实际生活相贴合，学生通过对问题的观察可逐步抽象出函数模型，并在各个实例的引导下逐步形成良好的数学逻辑推理、抽象与建模能力.从某种意义上而言，这些丰富的生活实例也是学生自主概括与抽象二次函数概念的素材，为学生更好地理解教学提供基础.

2.温故知新，抽象概念

依然借助多媒体展示一组式子，要求学生通过对式子的观察，从中挑选出自己所熟悉的函数，并说说函数类别与相对应的概念.

①y=4-x；②y=；③C=2πr；④S=5x2；⑤S=πr2；⑥y=360x2+240x+48；⑦y=-x2+7x.

设计意图函数类别的判定及定义的回顾，进一步强化学生对一次函数与反比例函数的认识，体会它们的概念均由其书写形式所确定，这一理解为接下来探索二次函数的概念奠定了方法基础.

师：观察式子④⑤⑥⑦，说说它们之间具备怎样的共同点.

生1：这几个式子中都出现了平方.

师：根据你们的认知经验，该如何给这一类函数命名？说明理由.

生2：应该要出现“二次”这一词语，考虑到都是函数，所以命名为“二次函数”.

师：从一次函数与反比例函数的定义出发，可否通过类比法为二次函数下个定义？

生3：一般情况下，二次函数为类似于y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）形式的函数，其中x为自变量，y属于x的函数.

师：表达的意思完全正确，你是怎么想到a≠0这一条件的？

生4：受一次函数与反比例函数概念的启发，发现它们都是根据书写形式下的定义，由此联想到二次函数的概念，也需关注a≠0的条件.若a=0，那么函数表达式就是y=bx+c，缺乏“二次”这一项，自然不属于二次函数的范畴.

教师肯定了学生的理解，并借助PPT展示完整的二次函数概念，要求学生注意关键性词语与规范的表达方法.

设计意图建构主义理论告诉我们，新知的建构往往建立在旧知的基础上.一次函数与反比例函数就是二次函数的知识基础.因此，在学生自主抽象概念时，可引导学生联系自身已有的认知经验，借助类比法获得二次函数的定义.如此设计，一方